これは代数的ポセットの等価条件ですか？

連続格子とドメイン、定義I-4.2 の「代数ポーズ」の定義は、すべてのに対して、$x \in L$

• セットは有向セットである必要があり、$A(x) = {\downarrow} x \cap K(L)$
• $x = \bigsqcup ({\downarrow} x \cap K(L)$。

ここで、posetさコンパクトな構成要素の集合であり、、及び手段を。$L$$K(L)$$L$${\downarrow} x$$\{y \mid y \sqsubseteq x\}$

最初の条件に少し驚いた。とが場合、もことを示すのは簡単な引数です。そのため、すべての空でない有限サブセットには上限があります。唯一の問題は、空のサブセットに上限があるかどうか、つまりが最初に空でないかどうかです。そう、$k_1$$k_2$$A(x)$$k_1 \sqcup k_2$$A(x)$$A(x)$$A(x)$

• 最初の条件を is not empty に置き換えても大丈夫ですか？$A(x)$
• が空の状況の例は何ですか？$A(x)$

追加された注：A（x）のはどうですか？まず、および、ます。次に、とはコンパクトです。したがって、それらを「超える」指示セットは、それらを「パス」する必要があります。有向集合もを超えている、つまります。とを超えているため、それらを通過している必要があります。つまり、となるような要素があります。$k_1 \sqcup k_2$$k_1 \sqsubseteq x$$k_2 \sqsubseteq x$$k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq x$$k_1$$k_2$$u$$k_1 \sqcup k_2$$k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq \bigsqcup u$$k_1$$k_2$$y_1, y_2 \in u$$k_1 \sqsubseteq y_1$$k_2 \sqsubseteq y_2$。は有向集合なので、および上限、たとえばです。ここで、。これは、がコンパクトであることを示しています。2つの部分は一緒にと言います$u$$y_1$$y_2$$y$$k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq y \in d$$k_1 \sqcup k_2$。$k_1 \sqcup k_2 \in A(x)$

が空の例は、通常の順序の実数Rのセットです。コンパクトな要素はまったくありません。$A(x)$$\mathbb{R}$

我々は、第二の条件を想定した場合、空にすることはできません：場合はA （xは）= ∅、第2の条件によりX空である、の従って少なくとも要素参加L、コンパクトであり、従ってX ∈ A （X ）= ∅、矛盾。$A(x)$$A(x) = \emptyset$$x$$L$$x \in A(x) = \emptyset$

最初の条件を空でない状態に置き換えるという提案は機能しません。posetの検討の2つのコピーから成るN及び∞我々は書き込み、ι 1（N ）及びι 2（n個の）の2つのコピーのためのnによって順序付け：$L$$\mathbb{N}$$\infty$$\iota_1(n)$$\iota_2(n)$$n$

• $\iota_1(m) \leq \iota_1(n) \iff m \leq n$
• $\iota_2(m) \leq \iota_2(n) \iff m \leq n$
• すべてのためのx。$x \leq \infty$$x$

言葉で言えば、共通の最高点を持つ2つの比類のないチェーンがあります。を除くすべての要素はコンパクトです。今：$\infty$

1. 、当然。${\downarrow}x \cap K(L) \neq \emptyset$

2. 、明らかに。$x = \bigvee ({\downarrow}x \cap K(L))$

3. セット向けられていません。${\downarrow}\infty \cap K(L) = \mathbb{N} + \mathbb{N}$