の崩壊は、

インとの間の多項式階層の各レベルに含まれる含む様々な複雑性クラスである $\Delta_i^{\text{P}}$ 、 $\text{DP}$ 、 $\text{BH}_k$ 、および $\Sigma_i^\text{P} \cap \Pi_i^\text{P}$ 。より良い用語がないため、これらおよびその他を、多項式階層のレベルと間の中間クラスと呼びます。この質問の目的のために、彼らは中に含まれるクラスであると仮定 $i$ $i+1$ $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ しかし含まおよび/または。我々を含む避けたい、可能ならば、それは自明と同等であるとしてそれが崩壊した場合レベル。 $\Sigma_i^\text{P}$ $\Pi_i^\text{P}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ $\text{PH}$ ${i+1}^{th}$

また、次のように定義する：
$\text{DP}_i = \left \{ L \cap L' : L \in \Sigma_i^\text{P} \text{ and } L' \in \Pi_i^{\text{P}} \right \}$

上記クラスの一般化である（も書き込ま）。この定義では、はと同等です。別のcstheory.se質問で考慮されます。それは見ることが容易であるとの両方が含まと。 $\text{DP}$ $\text{D}^\text{P}$ $\text{DP}$ $\text{DP}_1$ $\text{DP}_i \subseteq \Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $\Sigma_i^\text{P}$ $\Pi_i^\text{P}$

参照図：

PHの図

質問：
多項式階層がレベルに崩壊するが、レベルに崩壊しないと仮定します。すなわち、及び。 ${i+1}^{th}$ $i^{th}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P}=\Pi_{i+1}^\text{P}$ $\Sigma_{i}^\text{P}\neq\Pi_{i}^\text{P}$

これらの中間クラス自体と、未満の任意のレベルにある他のクラスとの関係について、もう少し言えますか？が任意の選択レベルに正確に崩壊する場合にのみ、すべてのコレクションでクラスが同等である複雑性クラスのコレクションのスキーマはありますか？ $i+1$ $\text{PH}$

ちょうどフォローとして、階層は（例えば、これらの中間クラスの任意の特定の一つに崩壊と仮定）。選択されたクラスに応じて、この崩壊が下方に、おそらくレベルにまで続き続ける必要があるかどうかを知っていますか？ $\Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $i^{th}$

上記の質問は部分的に調査され、Hemaspaandra et。al：
多項式階層内の下方崩壊
誰かがこの論文で言及されていない追加の例を知っているか、クラスがこれを達成するために何が起こる必要があるかについてさらに直感を持っていますか？

cc.complexity-theory polynomial-hierarchy

— mdxn
ソース

私には良い答えはありませんが、複雑さの精神で、良い答えを見つけるのは難しいかもしれないことを示唆するいくつかの答えがあります:)。

ラドナーの定理の一般化されたバージョンは無限に多くのポリタイム度は厳密の間であることを含意することに注意してくださいと厳密に上記のいずれかのポリ時間程度。具体的には、階層に崩壊した場合 -stレベルではなく、番目、次いで無限に多くのP-度の間であるおよび。 $\mathsf{\Sigma_i P}$ $i+1$ $i$ $\mathsf{\Sigma_i P}$ $\mathsf{\Sigma_{i+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{i+1} P}=\mathsf{\Sigma_{i+1} P}$
正しく思い出せば、が算術階層のように見えるオラクルを構築することは未解決の問題です。私ことを意味"算術的階層、のように見える"とは、崩壊しない、およびすべてについて。これは、少なくともあなたの質問に対する答えが分からないかもしれないことを示唆しています。 $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$ $k$
KER-Iコは彼がレベル隔てているオラクル与えるのものから。これらの2つの階層が互いに絡み合っているため、レベル間の相対論的問題の崩壊に関する少なくともいくつかの情報が得られます。 $\mathsf{BPH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$
この次のリファレンスは間違った方向ですが、結果とそのテクニックにも興味があるかもしれません。ChangとKadinは、ブール階層（ 2番目のレベルの下に完全に存在するがを階層全体に拡張する）が番目のレベルに崩壊する場合、はブールの番目のレベルに崩壊することを示しました以上の階層。 $\mathsf{PH}$ $\mathsf{DP}$ $k$ $\mathsf{PH}$ $k$ $\mathsf{\Sigma_2 P}$

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

SHOULD

である

Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P

$\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_k P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$

Δ_{k} P = Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k + 1} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P ?

$\mathsf{\Delta_{k} P}=\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}?$

— T ....

Σ_{k - 1}^{P} \cup Π_{k - 1}^{P} \subseteq Δ_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{p} \cap Π_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{P} \cup Π_{k}^{P}

$\Sigma_{k-1}^P\cup\Pi_{k-1}^P\subseteq \Delta_k^P\subseteq \Sigma_k^p\cap\Pi_k^P\subseteq \Sigma_k^P\cup\Pi_k^P$

P = Σ_{0}^{P} \cup Π_{0}^{P} = P \cup P \subseteq △_{1}^{P} = P \subseteq Σ_{1}^{p} \cap Π_{1}^{P} = N P \cap c o N P \subseteq Σ_{1}^{P} \cup Π_{1}^{P} = N P \cup c o N P \subseteq △_{2}^{P} = P^{N P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cap Π_{2}^{P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cup Π_{2}^{P} \dots

$P=\Sigma_{0}^P\cup\Pi_{0}^P=P\cup P\subseteq \Delta_1^P=P\subseteq \Sigma_1^p\cap\Pi_1^P=NP\cap coNP\subseteq \Sigma_1^P\cup\Pi_1^P=NP\cup coNP\subseteq \Delta_2^P=P^{NP}\subseteq\Sigma_2^P\cap\Pi_2^P\subseteq\Sigma_2^P\cup\Pi_2^P\dots$

— T ....