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量子計算と量子力学に関連する計算の問題

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ポリとログの深さの量子回路間の口腔分離
以下の問題は、アーロンソンのリスト「量子コンピューティング理論のための10のセミグランドチャレンジ」に現れています。 Is B Q P = B P PB Q N CBQP=BPPBQNC\mathsf{BQP}=\mathsf{BPP}^{\mathsf{BQNC}}言い換えれば、任意の量子アルゴリズムの「量子」部分をp o l y l o g（n）polylog（n）\mathrm{polylog}(n)深さに圧縮できますか？時間古典的な後処理？（これは、Shorのアルゴリズムに当てはまることが知られています。）その場合、汎用量子コンピューターの構築は、一般に信じられているよりもはるかに簡単です！ちなみに、それは与えることは難しいことではありませんオラクル分離の間にB Q PBQP\mathsf{BQP} およびBPPBQNCBPPBQNC\mathsf{BPP}^{\mathsf{BQNC}}ですが、問題はそのようなオラクルを「インスタンス化する」具体的な機能があるかどうかです。 されていJozsaによって推測質問への答えは、量子計算」の「」測定ベースのモデルではイエスであること：地元の測定、適応地元のゲートと効率的な古典後処理が許可されても参照してくださいこの関連の記事を。 質問。このクラス間の現在知られている口頭の分離（または、少なくとも、アーロンソンが言及している神託分離）について知りたいです。
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統一を中断した場合、正確な「量子」コンピューティングはどれほど強力ですか？
短い質問。 非ユニタリー（ただし、まだ反転可能な）ゲートを許可し、確実に正しい答えを出すために出力が必要な場合、「量子」回路の計算能力はどれくらいですか？ この質問は、回路がユニタリゲート以上のものを使用できるようにした場合、クラスEQPEQP\mathsf{EQP}に何が起こるかという意味です。（明確に定義された計算モデルが必要な場合は、可逆ゲートに制限する必要があります。）CC\mathbb C （この問題は、ユニタリーケースでのそのような回路に関する既知の結果についての私の一部の混乱を考慮して、いくつかの改訂を受けました。） 「正確な」量子計算について この質問のために、を、均一な量子回路族によって正確に解くことができる問題のクラスと定義します。入力文字列）各入力サイズ、また、有向ネットワークとしての回路のレイアウトも多項式時間で生成できること。「正確に」解決することで、出力ビットを測定すると、NOインスタンスの場合は確実にが得られ、YESインスタンスの場合は確実に得られます。EQPEQP\mathsf{EQP}1n1n1^nnnn|0⟩|0⟩|0\rangle|1⟩|1⟩|1\rangle 警告： この概念は、ユニタリゲートに制限されていても、量子チューリングマシンを使用したBernsteinおよびVaziraniの記述とは異なります。上記の定義により、ゲートは入力から計算されるため、回路ファミリは原則として無限のゲートセットを持つことができます。もちろん、各回路は有限のサブセットのみを使用します。（量子チューリングマシンは、任意の有限ゲートセットをシミュレートできますが、遷移の数が有限であるため、有限ゲートセットのみをシミュレートできます。）EQPEQP\mathsf{EQP}{Cn}{Cn}\{ C_n \}CnCnC_n この計算モデルは問題を単純化します。ユニタリには問題の解をハードする単一のゲートを含めることができるためです（その係数は結局、計算によって決定されます）。そのため、問題の特定の時間または空間の複雑さは、そのような回路にとって必ずしも興味深いものではありません。PP\mathsf PPP\mathsf P これらの警告に、量子コンピューターの実用的な実装にはとにかくノイズが含まれるという観察結果を追加できます。この計算モデルは、実行可能な計算ではなくユニタリ変換の構成に関係するものとして、また正確なバージョンとして、主に理論的な理由から興味深いものです。特に、上記の警告にもかかわらず、ます。BQPBQP\mathsf{BQP}P⊆EQP⊆BQPP⊆EQP⊆BQP\mathsf{P} \subseteq \mathsf{EQP} \subseteq \mathsf{BQP} 私のやり方でを定義する理由は、DISCRETE-LOGを入れることができるようにするためです。[ Mosca + Zalka 2003 ]により、入力モジュラスに応じてQFTの正確なバージョンを生成することによりDISCRETE-LOGのインスタンスを正確に解決するユニタリ回路を構築する多項式時間アルゴリズムがあります。上記で定義したように、DISCRETE-LOGをに入れることができると信じています。これは、ゲート係数が計算される方法に回路構成の要素を埋め込むことによって行われます。（したがって、結果DISCRETE-LOG基本的に保持されますが、Mosca + Zalkaの構築に依存しています。）EQPEQP\mathsf{EQP}EQPEQP\mathsf{EQP}EQPEQP\mathsf{EQP}∈EQP∈EQP\in \mathsf{EQP} ユニタリティーの中断 してみましょう我々はゲートがユニタリこと、および可逆変換を超える範囲にそれらを許可するという制限を一時停止した場合、我々が得ることを計算クラスです。このクラスを、他の従来の非決定的クラス観点から配置する（または特徴付けする）ことはできますか？EQPGLEQPGL\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}CC\mathbf C 私が尋ねる理由の1つは、が、一様な「非ユニタリー量子」回路ファミリーによって、有界エラーで効率的に解決可能な問題のクラスである場合、YESインスタンスは確率が少なくとも2/3、NOインスタンスで確率が最大1/3（状態ベクトルの正規化後）— [Aaronson 2005]は、。つまり、ユニタリティーを中断することは、この場合、無制限のエラーを許可することと同等です。BQPGLBQPGL\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}}|1⟩|1⟩|1\rangleBQPGL=PPBQPGL=PP\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}} = \mathsf{PP} についても同様の結果、または明確な結果が得られますか？EQPGLEQPGL\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}
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入力として任意の量子状態をとる量子サブルーチンの複雑度クラスとは何ですか？
複雑度クラスBQPは、古典的な入力を取り込み、確率的な古典的な出力を吐き出す多項式時間量子サブルーチンに対応します。量子アドバイスは、事前に定義されたいくつかの量子アドバイス状態のコピーを含むように変更しますが、通常の入力を使用します。入力として任意の量子状態を取り、複製なしのために1つのコピーのみを持ち、出力として量子状態を吐き出す多項式時間量子サブルーチンの複雑度クラスは何ですか？
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SPACE複雑度クラスの量子類似物
チューリングマシンが使用できるスペースの量に制限されている複雑なクラスをよく考えます。たとえば、またはです。複雑性理論の初期には、空間階層定理ややなどの重要なクラスの作成など、これらのクラスで多くの成功があったようです。量子計算に類似した定義はありますか？それとも、量子類似物が面白くないという明白な理由がありますか？NSPACE（f （n ））L PSPACEDSPACE(f(n))DSPACE(f(n))\textbf{DSPACE}(f(n))NSPACE(f(n))NSPACE(f(n))\textbf{NSPACE}(f(n))LL\textbf{L}PSPACEPSPACE\textbf{PSPACE} ようなクラスを持つことが重要だと思われます---量子の：対数の量子ビットが必要です（または、量子TMが対数空間を使用する場合があります）。LQLQL\textbf{QL}LL\textbf{L}
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GCDを計算するための量子NCアルゴリズムはありますか？
MathOverflowに関する私の質問の1つに対するコメントから、対ある GCD に関する質問は、 vs.にある整数因子分解に関する質問に似ていると感じます。P P N PN CNC\mathsf{NC}PP\mathsf{P}PP\mathsf{P}N PNP\mathsf{NP} 整数因数分解のための量子多項式時間（）アルゴリズムがあるので、GCDのための"quantum "アルゴリズムのようなものはありますか？B Q PN CNC\mathsf{NC}B Q PBQP\mathsf{BQP} 関連質問：最大公約数の複雑さ（gcd）
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量子鍵配送における誤り訂正の最良の方法
私の知る限り、QKDのほとんどすべての実装では、エラー修正にBrassardとSalvailのCASCADEアルゴリズムを使用しています。これは本当に、ランダムなキュービットの共有シーケンスのエラーを修正する最もよく知られた方法ですか、それともQKDの実装が代わりに使用すべきであるというより良い提案がありますか？
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ショートメッセージを使用したマルチプルーバーインタラクティブプルーフについて知られていることは何ですか？
Beigi、Shor、およびWatrousは、短いメッセージを伴う量子インタラクティブな証明の力に関する非常に素晴らしい論文を持っています。彼らは「ショートメッセージ」の3つのバリエーションを検討しており、私が気にする具体的なものは、任意の数のメッセージを送信できる2番目のバリエーションですが、メッセージの合計長は対数でなければなりません。特に、彼らはそのようなインタラクティブな証明システムがBQPの表現力を持っていることを示しています。 私が知りたいのは、古典的検証者または量子検証者のどちらに対しても、マルチプロバイダー設定に類似した結果があるかどうかです。すべてのメッセージの合計の長さが問題のサイズの対数に制限されているマルチプルーバーインタラクティブプルーフで、重要な複雑性の結果が知られていますか？
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一方向量子検証
クラスター状態計算の理論は今では十分に確立されており、BQP回路を変更して、「クラスター状態」として知られる状態の十分な供給があれば、古典的に制御された単一キュービット量子ゲートのみを使用できることを示しています。安定状態を生成するのは簡単です。 私の質問は次のとおりです。量子検証で同様の概念が知られていますか。つまり、QMA回路を従来の1量子ビットゲートに置き換え、おそらく「特殊な状態」を使用できますか。少なくとも最初は、この場合にクラスターの状態が機能する理由については不明です。
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参照要求：最大スタビライザーグループが一意の状態を決定するという数論のない証明
環境。 私は、以下のようなトピックについて書いていますGottesman-Knill定理、パウリスタビライザーグループを使用して、しかし、の場合はD次元qudits - dが複数の素因数を持つことができます。（「高次元」のスタビライザー形式に関する文献の大部分はd素数またはd a素数の場合を含み、有限体を使用するため、これを強調します。代わりに巡回群groups dを検討してい ます。） 任意の次元について、（Pauli）スタビライザーグループをパウリグループのアーベルサブグループとして特徴付けます。ここで、すべての演算子は+1固有空間を持ちます。 私はd = 2でよく知られている（そしてd primeに簡単に一般化される）結果について書いています： スタビライザーグループは、最大の場合にのみ、一意の純粋な状態を安定化します。 ここで、最大とは、拡張がパウリ群の外側にあるか、非アーベル型であるか、+ 1固有値のない演算子を含むことを意味します。 このような結果の証明D通常ℤの事実に頼るプライムdは 2Nは、（ベクトル空間である、すなわち ℤのことdがフィールドです）：これは、のために保持していないDの複合。2つの手段があります：ゼロ除数の存在に対してロバストな方法で既存の証明を一般化する（たとえば、スミス標準形などのツールを使用）、または数論を完全に避け、パウリ演算子の直交関係などのアイデアを使用します。 問題。 私は実際に、この結果の簡潔な証拠をすでに持っています。本質的には、パウリ演算子の直交関係以上のものは使用していません。しかし、私は以前にそのようなものを見たことがあると思うので、できれば先行技術を参照したいと思います（私が使用したものよりも優れた技術があるかどうかは言うまでもありません。 ）。 確かに、Knillの論文[quant-ph / 9608048]と[quant-ph / 9608049]は、同様の主題を考慮し、同様の手法を使用しています。しかし、私はそこで探していた結果、またはGottesmanの[quant-ph / 9802007]で結果を見つけることができませんでした。私は誰かがそのような証拠が以前に公開されたかもしれない場所を私に指摘できることを望んでいます。 注 —私が検討している結果は、グループのカーディナリティーを安定化された空間の次元に関連付けるものではありません（これは良いことですが、証明と参照を見つけるのは簡単です）。具体的には、拡張できない安定剤グループが固有の状態を安定化すること、およびその逆を示すことに関心があります。任意の最大安定化グループのカーディナリティが同じであることの証明への参照は問題ありません。ただし、dが素数である、またはmust d 2nがベクトル空間であることに依存してはなりません。
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ワンショット量子ヒット時間
論文では、量子ランダム指数関数的に高速化ヒットウォーク（arXivの：定量-PH / 0205083を）ケンペは、量子のための時間を打つの概念を与える量子ウォークの文献で非常に普及していないこと（ハイパーキューブで）歩きます。次のように定義されます。 ワンショット量子ヒット時間：離散時間量子ウォークには、ワンショット -hit time ifところ初期状態では、されるターゲットの状態で、かつ打つ確率です。（| Ψ 0 ⟩ 、| Ψ F ⟩ ）| ⟨ ΨのF | U T | Ψ 0 ⟩ | 2 ≥ P | Ψ 0 ⟩ | Ψ F ⟩ のp > 0（T、p ）（T、p）(T,p)（ | Ψ0⟩ 、|Ψf⟩ ）（|Ψ0⟩、|Ψf⟩）(|\Psi_0\rangle,|\Psi^f\rangle)| ⟨ Ψf| うんT| Ψ0⟩ |2≥ P|⟨Ψf|うんT|Ψ0⟩|2≥p|\langle\Psi^f|U^T|\Psi_0\rangle|^2 …
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量子オートマトンの分野の調査はありますか？
量子オートマトンの分野における重要な概念の調査論文を探しています。Quantum Automata Theory-A Review by Hirvensalo を見つけましたが、トピックを理解するには簡潔すぎます。量子オートマトンのトピックに関する非常に包括的な調査はありますか？ また、トピックに関する重要な文献を教えていただけますか？
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指数関数的高速化を伴う量子アルゴリズムは、スパンプログラムを使用して再派生できますか？
一般的な敵の下限は、Reichardtらによる画期的な研究により、量子クエリの複雑さを特徴付けることが知られています。同じ作業により、スパンプログラムフレームワークへの接続が確立され、量子アルゴリズムが設計されます。 SimonのアルゴリズムやShorの期間発見アルゴリズムのような指数関数的な高速化を含む多くの興味深い量子アルゴリズムは、量子クエリモデルで表現できます。 一般的な敵対モデルでこれらのアルゴリズムの下限を示す仕事はありますか？ スパンプログラムフレームワークでSimonまたはShorのアルゴリズムを再派生させる作業はありますか？ どうやら、Groverのような、多項式の高速化を伴う量子アルゴリズムのみが、スパンプログラム（またはBelovの学習グラフ）フレームワークを使用して再導出されました。 Korianらによる研究があります。多項式法を使用してサイモンの下限を表示しますが、明らかに多項式法の下限を一般的な敵の下限に変換する既知の方法はありません。
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ライン上の量子から古典的ランダムウォークへの移行
クイックバージョン 我々はチューンとして普及に歩くことができるようライン上の量子散歩のためのデコヒーレンスのモデルがありの任意のための1 / 2 ≤ K ≤ 1は？Θ(tk)Θ(tk)\Theta(t^k)1/2≤k≤11/2≤k≤11/2 \leq k \leq 1 動機 古典的なランダムウォークはアルゴリズムの設計に役立ち、量子ランダムウォークは多くのクールな量子アルゴリズムを作成するのに役立つことが証明されています（指数関数的な高速化が可能な場合があります）。したがって、量子ウォークと古典ランダムウォークの違いを理解することが重要です。これを行う最も簡単な方法は、ライン上の散歩などのおもちゃのモデルを考慮することです。 物理学の動機もあります。量子力学が古典力学にどのようにスケールするかを知ることは興味深いです。しかし、これはcstheoryにはあまり関係ありません。 私の個人的な動機は完全に直交しています。いくつかの実験データを、量子から古典にスムーズに移行し、比較的直感的なモデルと一致させようとしています。 バックグラウンド 量子整数ライン上の古典的な散歩を考慮すると、重要な違いは、量子ウォークの（位置分布の）標準偏差のように進むことであるのように、古典的なものΘ （T 1 / 2）Tはあります離散モデルのステップ数、または連続モデルの時間。これは線に限定されないことに注意してください。多くのグラフでは、量子混合時間と古典的混合時間の間に同様の二次関係が見られます。Θ(t)Θ(t)\Theta(t)Θ(t1/2)Θ(t1/2)\Theta({t^{1/2}})ttt 量子ウォークにデコヒーレンスを導入すると（測定またはノイズを介して）、ウォークはより古典的に動作し始めます。実際には、ほとんどの測定のために、私たちは同じように広がることを古典徒歩で終わる右の時間スケールから見た場合。他の形式のデコヒーレンス（コインのディフェージング、またはラインの不完全性の導入など）の場合、通常、歩行が量子的に振る舞う（Θ （t ）として広がる）およびそれを超えると古典的な歩行が始まる（スプレッドΘ （T 1 / 2）Θ(t1/2)Θ(t1/2)\Theta(t^{1/2})Θ(t)Θ(t)\Theta(t)Θ(t1/2)Θ(t1/2)\Theta(t^{1/2})）。実際、このスケーリングは量子ウォークの定義としても提案されています。 質問の長いバージョン デコヒーレンスのそこのモデルは、ライン上のランダムウォークのために、我々はデコヒーレンスの量を変えると、我々は位置の標準偏差を達成することができるようにしていることなどスケールの任意のための1 / 2 ≤ K ≤ 1？あるいは混合時間または打撃にギャップを有する他のグラフのために、デコヒーレンスの形態がある我々は、移行混合/打つ/標準偏差を持つことができるように、F （Tの）いずれかのF ∈ Σ （G （T ））とF ∈ O （HΘ(tk)Θ(tk)\Theta(t^k)1/2≤k≤11/2≤k≤11/2 \leq k \leq 1f(t)f(t)f(t)f∈Σ(g(t))f∈Σ(g(t))f …
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