ライン上の量子から古典的ランダムウォークへの移行

クイックバージョン

我々はチューンとして普及に歩くことができるようライン上の量子散歩のためのデコヒーレンスのモデルがありの任意のための？ $\Theta(t^k)$ $1/2 \leq k \leq 1$

動機

古典的なランダムウォークはアルゴリズムの設計に役立ち、量子ランダムウォークは多くのクールな量子アルゴリズムを作成するのに役立つことが証明されています（指数関数的な高速化が可能な場合があります）。したがって、量子ウォークと古典ランダムウォークの違いを理解することが重要です。これを行う最も簡単な方法は、ライン上の散歩などのおもちゃのモデルを考慮することです。

物理学の動機もあります。量子力学が古典力学にどのようにスケールするかを知ることは興味深いです。しかし、これはcstheoryにはあまり関係ありません。

私の個人的な動機は完全に直交しています。いくつかの実験データを、量子から古典にスムーズに移行し、比較的直感的なモデルと一致させようとしています。

バックグラウンド

量子整数ライン上の古典的な散歩を考慮すると、重要な違いは、量子ウォークの（位置分布の）標準偏差のように進むことであるのように、古典的なものあります離散モデルのステップ数、または連続モデルの時間。これは線に限定されないことに注意してください。多くのグラフでは、量子混合時間と古典的混合時間の間に同様の二次関係が見られます。 $\Theta(t)$ $\Theta({t^{1/2}})$ $t$

量子ウォークにデコヒーレンスを導入すると（測定またはノイズを介して）、ウォークはより古典的に動作し始めます。実際には、ほとんどの測定のために、私たちは同じように広がることを古典徒歩で終わる右の時間スケールから見た場合。他の形式のデコヒーレンス（コインのディフェージング、またはラインの不完全性の導入など）の場合、通常、歩行が量子的に振る舞う（として広がる）およびそれを超えると古典的な歩行が始まる（スプレッド $\Theta(t^{1/2})$ $\Theta(t)$ $\Theta(t^{1/2})$ ）。実際、このスケーリングは量子ウォークの定義としても提案されています。

質問の長いバージョン

デコヒーレンスのそこのモデルは、ライン上のランダムウォークのために、我々はデコヒーレンスの量を変えると、我々は位置の標準偏差を達成することができるようにしていることなどスケールの任意のための？あるいは混合時間または打撃にギャップを有する他のグラフのために、デコヒーレンスの形態がある我々は、移行混合/打つ/標準偏差を持つことができるようにいずれかのと $\Theta(t^k)$ $1/2 \leq k \leq 1$ $f(t)$ $f \in \Sigma(g(t))$ ここで、は古典的なミキシング/ヒット/ STDであり、は純粋な量子です。これが不可能な場合、この種の1つまたは他の動作を見るより深い理由がありますか？ $f \in O(h(t))$ $g(t)$ $h(t)$

quantum-computing random-walks quantum-walk

— アルテム・カズナチェフ
ソース

質問の内容を改善してほしい場合は、指摘してください。この質問の範囲が心配な場合は、メタディスカッションに参加してください。

— アルテムKaznatcheev

いい質問ですね。実際、数ヶ月前に取り組んでいたもの（arXiv：1011.1217）に同じ質問が浮かびました。自然な種類のデコヒーレンスは、最初はバランスが取れているように見えますが、時間の経過とともに拡散するように見えるため、レジームと間で移行しています $t$ レジーム。この例については、上記の論文の図2を参照してください。あなたの状態が次第に一貫性を失うので、これは自然な行動のようです。 $t^{\frac{1}{2}}$

これは、分散がまたはとしてのみスケーリングすることを示唆しているように見えるため、歩行はとして広がる $t$ $t^2$ または。 $t^{\frac{1}{2}}$ $t$

ただし、ノイズが導入されると量子計測でまったく同じことが起こりますが、それを克服して中間スケーリングを生成できます（たとえば、JA Jones et al、Science、324、5931（2009）、arXiv：1103.1219、arXiv：1101.2561を参照してください）等。）。これを実現する1つの方法は、中間測定を行うことです。

$T$ $t=nT$ $\mbox{Var}(x(nT)) = \sum_{i = 1}^n \mbox{Var}(x(T)) = n \mbox{Var}(x(T))$ $\mbox{Var}(x(T)) = T^2$ $\mbox{Var}(x(t)) = n T^2$ $t=nT$ $n\propto t^k$ $T\propto t^{1-k}$ $\mbox{Var}(x(t)) = t^{2-k}$

— ジョー・フィッツシモンズ
ソース

「弾道」行動とは何ですか？

— スレシュヴェンカト

t^{2}

$t^2$

t

$t$

t \to \infty

$t \rightarrow \infty$

T

$T$

f (n)

$f(n)$

n

$n$

t^{\frac{1}{2}}

$t^\frac{1}{2}$ 制限がありますが、どれくらいの期間進化したいかがわかっている場合は、それを定期的な測定値に切り分けて、ショットノイズの制限よりも良くすることができます。この答えは、それらの結果を量子ランダムウォークに適用するだけです。

— ジョーフィッツシモンズ

@Artem：自然進化のために、あなたは単純に、弾道拡散がある領域を持ち、移行領域を持ち、成長が鈍化して持続します。

t^{\frac{1}{2}}

$t^\frac{1}{2}$ 。これがどのように発生するかは簡単にわかります。短時間のスケールでは、デコヒーレンスがほとんどないため、進化は量子のように見えます。しかし、十分にズームアウトし、チェーンを領域に分割し、これらの領域間のホッピングのダイナミクスを考慮すると、コヒーレンスはそのようなブロックを横断するのに十分長く持続しないため、進化は最終的に古典的に見え、したがって古典的なランダムがあります歩く。

— ジョーフィッツシモンズ