ショートメッセージを使用したマルチプルーバーインタラクティブプルーフについて知られていることは何ですか？

Beigi、Shor、およびWatrousは、短いメッセージを伴う量子インタラクティブな証明の力に関する非常に素晴らしい論文を持っています。彼らは「ショートメッセージ」の3つのバリエーションを検討しており、私が気にする具体的なものは、任意の数のメッセージを送信できる2番目のバリエーションですが、メッセージの合計長は対数でなければなりません。特に、彼らはそのようなインタラクティブな証明システムがBQPの表現力を持っていることを示しています。

私が知りたいのは、古典的検証者または量子検証者のどちらに対しても、マルチプロバイダー設定に類似した結果があるかどうかです。すべてのメッセージの合計の長さが問題のサイズの対数に制限されているマルチプルーバーインタラクティブプルーフで、重要な複雑性の結果が知られていますか？

完全に古典的なケース（MIP）

検証者が古典的であり、証明者間に事前のエンタングルメントがない場合、クラスにはBPP∪NPが含まれ、MAに含まれます。

BPPが下限であることは簡単です。クラスにNPが含まれていることを示すために、完全な完全性と健全性エラー1−1 / polyを備えた3色性の標準2証明者1ラウンドインタラクティブプルーフシステムを検討します。健全性エラーを定数に減らしたい場合は、これをPCP定理と組み合わせてください。

上限に関しては、次のより強力なステートメントが成り立ちます。検証者から各証明者までのメッセージの合計長がO（log n）であるという制限のあるMIP はMAに等しい。これは、各証明者の戦略が多項式の長さの文字列で記述できるためです。

興味深いことに、システムに完全な完全性がある場合、別の上限が存在します。つまり、O（log n）ビットの完全な通信を備えた完全な完全性を備えたマルチプルーバーインタラクティブプルーフシステムは、最大でP ^{NP [log]を}認識し、これは無制限の健全性エラーを許可しても保持されます。2つの証明者の場合にはこれを証明するために、聞かせて、Xが_Sが第一証明者へのすべての質問の連結である第1証明者によって与えられたすべての答えの連結であり、S、および定義Y _Tを第二証明するために同様。検証者が確実に受け入れるために、これらの変数x _sおよびy _t特定の制約を満たさなければならず、これは2CSPであることに注意してください。タプル（s、t、x _s、y _t）にはせいぜいpoly（n）の選択肢があり、各選択肢について、NPオラクルを使用して検証者がそのタプルを拒否するかどうかをテストできます。したがって、NPオラクルを使用すると、変数x _sおよびy _tに関するすべての制約をリストできます。多項式時間で。最後に、NPオラクルをもう一度使用して、すべての制約を満たすこれらの変数への割り当てがあるかどうかをテストします。このアルゴリズムはNPオラクルを多項式で何度も使用しますが、最後のクエリを除くすべてのクエリを並列に作成できるため、これをP ^{NP [log]}アルゴリズムに変換できます。3人以上の証明者の場合も同様です。

この上限は、すべてのMAシステムを完全な完全性を備えたものに変えることができるが、MA⊆PNP ^[log]でない限り、O（log n）ビット通信で完全な完全性を備えたマルチ証明者対話型証明システムを期待できないことを意味し^ます。私はインクルージョンMA⊆Pかそうかわからない^{NP [ログ]が}あるが、私はちょうどことに注意して複雑動物学のOracle相対的な存在であることを述べているにBPP⊈ P ^NP（したがって、明確にMA⊈P ^{NP [ログ]}）。

（単一証明者の場合、Goldreich andHåstad[GH98]の定理2は、総メッセージ長O（log n）ビットのIP がBPPに等しいことを意味します。）

を追加しました。必要かつ十分な特性評価は次のとおりです。

この特徴付けを説明するには、Karp還元性（多項式時間の多対1還元性）の概念の変形が必要です。2つの決定問題AとBについて、yes-をマップするBPPオラクルにアクセスする決定論的な多項式時間チューリングマシンMがある場合、AはFP ^BPP - Bに還元可能です（これはひどい名前です）インスタンスをyesインスタンスに、noインスタンスをnoインスタンスに、ここで「非スマート」なOracleアクセスを許可します（つまり、MBPP問題の約束を満たさないインスタンスについてBPPオラクルにクエリを行うことができます。その場合、オラクルは任意にyesまたはnoを返します。次に、問題Aの次の条件が同等であることを証明できます。

（i）Aには、O（log n）ビット通信と両側有界エラーを備えたマルチ証明者対話型証明システムがあります。
（ii）Aは、O（log n）ビット通信、指数関数的に小さな完全性エラー、および一定の健全性エラーを備えた2証明者、1ラウンドの対話型証明システムを備えています。
（iii）AはFP ^BPP -NPの問題に還元可能です。

（証明のアイデア：含意（ii）⇒（i）は簡単です。含意（i）⇒（iii）は、片側エラーの場合の上記の証明と同様の方法で取得できます。含意（iii）⇒（ii条件を満たす問題のクラスは（ii）のFPの下では閉じているので）PCP定理から次の^BPPの -reducibility。）

エンタングルされた証明者による古典的な検証（MIP *）

次に、古典的な検証者と絡み合った証明者のケースを考えてみましょう。この場合、境界エラーのあるクラスには再びBPP∪NPが含まれます。

Kempe、Kobayashi、Matsumoto、Toner、およびVidick [KKMTV11]は、NPのすべての問題には、完全な完全性と健全性エラー1-1 / polyの3証明者、1ラウンドの対話型証明システムがあることを示しています。 log n）ビットで、絡み合った証明者に対して健全性が保持されます。したがって、メッセージ長の合計がO（log n）ビットで境界エラーのあるMIP *にはNPが含まれます。伊藤、小林、松本による後の結果[IKM09]（恥知らずのプラグ）は、証明者の数を3から2に減らします。一定の健全性の場合は、私の知識の一番上で開かれています。

総メッセージ長O（log n）ビットのMIP * が決定可能な問題のクラスRに含まれているかどうかは不明であり、この質問はパディング引数によるMIP *⊆R（別の未解決の問題）と同等です。

参照資料

[GH98] Oded GoldreichとJohanHåstad。限られたコミュニケーションを備えたインタラクティブな証明の複雑さについて。 情報処理手紙、67（4）：205–214、1998年8月。http：//dx.doi.org/10.1016/S0020-0190%2898%2900116-1

[IKM09]伊藤剛、小林裕忠、松本啓二。非局所化戦略に対するオーラキュラリゼーションと2証明者の1ラウンドのインタラクティブな証明。 Proceedings：第24回計算複雑性に関するIEEEカンファレンス（CCC 2009）、217〜228、2009年7月。http： //dx.doi.org/10.1109/CCC.2009.22

[KKMTV11]ジュリア・ケンペ、小林裕忠、松本Kei司、ベン・トナー、トーマス・ヴィディック。からみ合ったゲームを概算するのは困難です。 コンピューティングSIAMジャーナル、40（3）：848から877、2011年 http://dx.doi.org/10.1137/090751293