一方向量子検証

クラスター状態計算の理論は今では十分に確立されており、BQP回路を変更して、「クラスター状態」として知られる状態の十分な供給があれば、古典的に制御された単一キュービット量子ゲートのみを使用できることを示しています。安定状態を生成するのは簡単です。

私の質問は次のとおりです。量子検証で同様の概念が知られていますか。つまり、QMA回路を従来の1量子ビットゲートに置き換え、おそらく「特殊な状態」を使用できますか。少なくとも最初は、この場合にクラスターの状態が機能する理由については不明です。

quantum-computing

— リオール・エルダー
ソース

私が正しく理解している場合、QMAでMerlinがあなたに何とかモデルに組み込む必要があるという量子的証拠を渡す問題はありますか？つまり、QMAではなくQCMAであり、Merlinが単に古典的な文字列を渡す場合、BQPの既知の結果を使用できますか？

— ロビンコタリ

それは正解です。この区別をしていただきありがとうございます。

— リオールエルダー

そもそも、BQPについても同じ質問をすることができます。1キュービットの測定能力と、信頼できないクラスター状態（または他の適切な状態）が与えられれば、量子計算を実行できますか？

— ノーベルトシューフ

回答:

QMA完全性を維持したまま、QMA検証を単一キュービット測定と従来の前処理および後処理（ランダム性あり）に制限することができます。

理由を確認するには、任意のクラスのローカルQMA完全ハミルトニアンをキュビットで取得します。次数定数を追加し、係数で再スケーリングすることにより、ハミルトニアンはの形式になりますここで、、および $k$ $\mathrm{poly}(n)$ $1/\mathrm{poly}(n)$

H = \sum_{i} w_{i} h_{i},

$H=\sum_i w_i h_i\ ,$

w_{i} > 0

$w_i>0$

\sum_{i} w_{i} = 1

$\sum_i w_i=1$

、ここで

はPaulisの積です。

の最小固有値を精度

まで推定することは、依然としてQMA困難です。

h_{i} = \frac{1}{2} (I d \pm P_{i})

$h_i = \tfrac12(\mathrm{Id}\pm P_i)$

P_{i}

$P_i$

H

$H$

1 / p o l y (n)

$1/\mathrm{poly}(n)$

状態が与えられると、単一キュービット測定のみを使用する回路を構築できるようになりました、確率で受け入れる（構成によって間でと）。このため、最初に分布に従っての1つをランダムに選択します。その後、内Paulisの各測定、パリティ取る今に関連した成果、の $|\psi\rangle$ $1-\langle\psi|H|\psi\rangle$ $0$ $1$ $i$ $w_i$ $P_i$ $\pi$ $\langle\psi|h_i|\psi\rangle$ 経由ここで、回路は出力、及び出力は、したがってに従って分布さ。

⟨ ψ | h_{i} | ψ ⟩ = \frac{1}{2} (1 \pm (- 1)^{π}) \in {0, 1} .

$\langle\psi|h_i|\psi\rangle = \tfrac12(1\pm (-1)^\pi)\in\{0,1\}\ .$

1 - ⟨ ψ | h_{i} | ψ ⟩

$1-\langle\psi|h_i|\psi\rangle$

⟨ ψ | H | ψ ⟩

$\langle\psi|H|\psi\rangle$

これは、（QMA完了）ローカルハミルトニアン問題のyesインスタンスを選択した場合、状態がありますこの検証は、いくつかの確率で受け入れるようそうでなければ、任意の状態が確率で拒絶される一方、と、。したがって、検証者が1キュービット測定に制限されているQMAのバリアントは、一部の $|\psi\rangle$ $\ge a$ $\le b$ $a-b>1/\mathrm{poly}(n)$ $1/\mathrm{poly}(n)$ ギャップ。最後に、このバージョンのQMAは、QMAの従来の増幅技術だけを使用して増幅できます。これにより、ギャップに関係なく（QMAと同じ範囲内で）QMA完全であることが最終的に証明されます。

— ノーベルト・シューチ
ソース

の最小固有値を推定する問題がまだQMA困難である理由を簡単に説明または参照できますか？ありがとう！

H

$H$

— ヘンリーユエン

この問題[最大

]がQMA完全であるハミルトニアン

から始め、それをハミルトニアン

に変更します。ここで

および

なので、

GSエネルギーを推定する

H^{'}

$H'$

ϵ = 1 / p o l y (n)

$\epsilon=1/\mathrm{poly}(n)$

H = x (H^{'} + y)

$H=x(H'+y)$

x = 1 / p o l y (n)

$x=1/\mathrm{poly}(n)$

y = p o l y (n)

$y=\mathrm{poly}(n)$

H

$H$ 最大精度

は依然としてQMA困難です。

x ϵ = 1 / p o l y (n)

$x\epsilon=1/\mathrm{poly}(n)$

— ノーバートシューフ

がパウリハミルトニアンの固有空間への投影器であると常に仮定できますか？

h_{i}

$h_i$

— ヘンリーユエン

元のハミルトニアンの各項

は、

パウリ積（

に対する

と各パウリの前因子の合計として書くことができます製品

ある

。

h^{'}

$h'$

4^{k}

$4^k$

4^{k} = p o l y (n)

$4^k=\mathrm{poly}(n)$

k = O (\log (n))

$k=O(\log(n))$

P_{i}

$P_i$

t r [P_{i} h^{'}] / 2^{k} \leq ‖ h^{'} ‖_{\infty}

$\mathrm{tr}[P_ih']/2^k\le \|h'\|_\infty$

— ノーバートシューフ

私の質問の解釈は、あなたが尋ねているということです、QMAプロトコルの検証回路は単一キュービット測定のみを使用すると仮定できますか？（証明者は、「一方向量子コンピューティング」によって元の検証回路を実装するために必要な量子証明と量子クラスター状態の両方を送信するという考えです。）

もちろん、問題は、証明者が有効なクラスター状態をまったく送信しない可能性があることです。したがって、検証者は受信した状態をテストして、それが実際にクラスター状態であることを確認する必要があります。検証者は、単一キュービット測定を行い、相関が必要な安定化チェックを満たしていることを確認することでこれを行います。このようなテストは状態を破壊するため、検証者に状態の多くのコピーを与え、それらのほとんどをチェックし、計算にランダムなコピーを使用する手順が必要になります。多項式的に多くのコピーで十分ですか？

これは既知の定理だとは思わない。明らかな反例は（ちょっと考えて）見当たらないので、信じられるかもしれません。テスト状態に関する既知の証明技術は、これを確認するのに十分であると思われます。たとえば、Matthew McKagueの論文arXiv：1010.1989 [quant-ph]を参照してください。証拠が機能する場合は、論文をQIP（10月5日締め切り）に送信してください！

— 匿名
ソース

おそらく私はこの質問を誤解しています。測定ベースの計算を使用してQMAの問題の検証回路を実装できるかどうかを尋ねる場合、Merlinは入力層を提供し、Arthurはリソース状態でさらにすべてのキュービットを提供し、測定開始前に両方のキュービットのセットをエンタングルします。答えは簡単です。これは、古典的な入力であろうと量子入力であろうと、量子回路を測定ベースの計算として実装できるという事実から直接生じます。

計測ベースの計算入力サイトに関するほとんどの論文では、一般に他のサイトとは別個に識別されることに気付くでしょう。これが理由です（具体的には量子入力の場合に対処するため）。

— ジョー・フィッツシモンズ
ソース

実際、この点についてははっきりしていません。私が見た測定ベースの計算の論文では、変換は、古典的な入力を持つ任意のBQP回路から、クラスター状態から始まる一方向の計算回路になります。つまり、入力に関係なく、任意のユニタリ回路Uを測定ベースの回路U_1に変換するものとしては記述されていません。私が尋ねた複雑さの質問は、ノーバートの答えに従って解決されましたが、この点を理解したいと思います。

— リオールエルダー

@LiorEldar：次に、元のラウセンドルフとブリーゲルの論文、またはラウセンドルフ、ブラウンとブリーゲルの論文をご覧ください。一度に1ゲートずつ明示的に回路を構築し、各測定パターンが任意の状態にある可能性がある入力層に特定のゲートを実装することを示しています。間違いなく、任意の入力に任意の回路を実装できます。

— ジョーフィッツシモンズ

Liorはアーヘンで実際にここで議論しましたが、質問を理解する1つの方法はこの考えに基づいています：Merlinは（信頼できない）クラスター状態に組み込まれた証明を提供でき、アーサーは1キュービット測定を使用して検証しますクラスターを使用するか、MBQCを使用して証明を検証しますか？（たぶん、エラー補正を使用するブラインドコンプと同様のアイデアを使用できますか？）残念ながら、QMAの難しさを証明するためにこの素晴らしいアイデアは必要ありません。;-(ただし、これが機能するかどうかを理解することは依然として興味深い質問であり、あなたはこれを示す専門家になると思います：

— ノーバートシューフ

@Lior：入力を検証するためにMBQCを使用する場合、1量子ビット測定に加えて、2量子ビットゲートももちろん必要です（入力をクラスター状態にエンタングルする必要があるため）。

— ノーバートシューフ

@ジョー：ところで、BQPについての同じ質問（信頼できないクラスター状態を使用して1キュービット測定を使用してBQPを実行できますか）はもちろんまだ開いており、ブラインド計算で使用されるアイデアが進むべき道であると感じています。

— ノルベルトシューフ