タグ付けされた質問 「nt.number-theory」

数論における質問

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指数関数の複雑さ
出力のサイズは入力のサイズに多項式で制限されていないため、自然数の指数関数は多項式時間で計算できないことがわかっています。exp(x,y)=xyexp⁡(x,y)=xy\exp(x,y) = x^y これが指数関数の計算が難しい主な理由ですか、それとも指数関数を計算するのが本質的に難しいのでしょうか？ 指数関数のビットグラフの複雑さは何ですか？ {⟨x,y,i⟩∣x,y,i∈N and the i-th bit of xy is 1}{⟨x,y,i⟩∣x,y,i∈N and the i-th bit of xy is 1}\{\langle x,y,i \rangle \mid x,y,i\in\mathbb{N} \text{ and the $i$-th bit of $x^y$ is $1$} \}
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サーナックのメビウス予想に対する反例として効率的に計算可能な機能
最近、ギル・カライとディック・リプトンの両方が、数論とリーマン仮説の専門家であるピーター・サーナックによって提案された興味深い予想について素晴らしい記事を書きました。 推測。してみましょう可能メビウス関数。仮定である入力を有する関数のkのバイナリ表現の形でK、その後 \ sum_ {K \当量のn} \ mu（k）\ cdot f（k）= o（n）\ textμ （k ）μ（k）\mu(k)A C 0 K K Σ K ≤ N μ （K ）⋅ F （K ）= O （N ）。f：N → { - 1 、1 }f：N→{−1、1}f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}A C0AC0\mathsf{AC}^0kkkkkk∑K ≤ Nμ （K ）⋅ F（k ）= o （n ）。∑k≤nμ（k）⋅f（k）=o（n）。 …
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最大公約数の複雑さ（gcd）
次のカウント問題（または関連する決定問題）を検討してください。バイナリでエンコードされた2つの正の整数が与えられた場合、それらの最大公約数（gcd）を計算します。この問題が含まれる最小の複雑度クラスは何ですか？参照を提供できますか？ この質問では、主に実行時間の漸近的な境界ではなく、複雑さのクラスに興味があります。ACに問題はありますか？AC0にないことが証明できますか？ここで関連するP内の他の複雑度クラスとは何ですか？
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NP完全な自然に自然な問題はありますか？
自然数はビットシーケンスと見なすことができるため、自然数の入力は0-1シーケンスの入力と同じであるため、自然入力のNP完全問題が明らかに存在します。しかし、何らかの自然な問題、つまり、数字のエンコードと特別な解釈を使用しない問題はありますか？たとえば、「素数ですか？」これは自然な問題ですが、これはPにあります。または、「サイズ3、5、n、nのヒープでNimゲームに勝つのは誰ですか？」私が自然だと考える別の問題ですが、これがPにあることもわかっています。NPではなく他の複雑度クラスにも興味があります。 更新：EmilJeřábekが指摘し与えられが自然に対する解を持っているかどうかを決定することはNP完全です。これは、入力が1つではなく3つの数値であることを除いて、私が自然に考えていたものです。a,b,c∈N,a,b,c∈N,a,b,c\in \mathbb N,ax2+by−c=0ax2+by−c=0ax^2+by-c=0 更新2：そして、4年以上待った後、ダンブルムレーヴは「より良い」ソリューションを提供しました-ランダム化された削減のため、まだ完全ではないことに注意してください。
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整数の因子の数を数えるのはどれくらい難しいですか？
整数所与の長さのビットを、どのようにハードそれを出力するの素因数の数（または因子の代わりに数）であり、？NNNnnnNNN 素因数分解を知っていれば、これは簡単です。ただし、素因数の数または一般的な因子の数を知っていた場合、実際の素因数分解をどのように見つけるかは明確ではありません。NNN この問題は研究されていますか？素因数分解を見つけることなくこの問題を解決する既知のアルゴリズムはありますか？ この質問は、好奇心と部分的にmath.SE質問によって動機付けられています。
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数値フィールドの因数分解の複雑さ
一般的な数値フィールドの整数の因数分解の計算の複雑さについて知られていることは何ですか？すなわち： 整数上では、バイナリ展開を介して整数を表します。一般的な数値フィールドの整数の類似表現は何ですか？ 数体上の原数がPまたはBPPにあることはわかっていますか？ 数値フィールドを因数分解するための最もよく知られているアルゴリズムは何ですか？（および（明らかに）EXPN 1 / 3アルゴリズムから延びるZ？）ここで、ファクタリングは数いくつかの表現を見つけることを意味する（で表されるn個の素数の積として）ビット。expn−−√exp⁡n\exp \sqrt nexpn1/3exp⁡n1/3\exp n^{1/3}ZZ\mathbb{Z}nnn 数値フィールドで整数のすべての因数分解を見つけることの複雑さは何ですか？いくつの異なる因数分解があるかを数えますか？ 上のことが知られている所定数の区間の要因を持っているかどうかを決定する〔、B ]ZZ\mathbb{Z}[a,b][a,b][a,b] NP困難です。数値フィールド内の整数のリング上で、ノルムが特定の間隔内にある素因数があるかどうかを見つけることは、すでにNP困難である可能性がありますか？ BQPの数値フィールドを因数分解していますか？ 発言、動機、および更新。 もちろん、因数分解は数値フィールド上で一意ではないという事実はここで重要です。この質問（特にパート5）は、GLLに関するこのブログ投稿（この発言を参照）と、以前のTCSexchangeの質問によるものです。Lior Silverman が徹底的な答えを提示した私のブログでもそれを提示しました。
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素数計算関数は＃P-completeですか？
リコールπ（n ）π(n)\pi(n)素数の数≤ n個≤n\le nでプライムカウント機能。「PRIMES in P」により、π（n ）π(n)\pi(n)計算は#Pになります。問題は＃P-completeですか？または、おそらく、この問題が#P完全ではないと信じる複雑な理由がありますか？ PS誰かが問題を研究し、これを証明/反証/推測したにちがいないので、私はこれが少し素朴であることを認識していますが、文献で答えを見つけることができないようです。なぜ私が気になるのか興味があるなら、こちらをご覧ください。
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ハードカウントバージョンの簡単な問題
ウィキペディアは、カウントバージョンが難しいのに対し、決定バージョンは簡単な問題の例を提供します。これらのいくつかは、完全な一致を数え、222 -SAT の解の数とトポロジカルソートの数を数えています。 他の重要なクラス（格子、木、数論などの例）はありますか？そのような問題の大要はありますか？ 問題には多くの種類がありますPPP持っている#P#P\#P -hardカウントバージョンでは。 自然問題のバージョンがあるPPPより完全に理解または一般的な二部完全一致よりも簡単である（上の詳細を含めてください理由簡単ようであるとして証明可能の最も低いクラスでNCNCNC -hierarchyなど）いくつかの他にそのカウントバージョンれる特定の単純な二部グラフのための（例えば、数論、格子など）または少なくとも領域#P#P\#P -hard？ 格子、ポリトープ、ポイントカウント、数論からの例は高く評価されます。
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ShorのアルゴリズムのOdlyzkoの改善により、試行回数が
1995年の論文「量子コンピューターでの素因数分解と離散対数のための多項式時間アルゴリズム」で、Peter W. Shorは、彼の因数分解アルゴリズムの順序検出部分の改善について議論しています。標準アルゴリズムの出力は、注文の除数のモジュロ。x ^ {r '} \ equiv 1 \ mod Nをチェックすることによりであるかどうかをチェックする代わりに、改善点は次のとおりです。 r x N r ′ = rr′r′r'rrrxxxNNNr′=rr′=rr'=rxr′≡1modNxr′≡1modNx^{r'}\equiv 1 \mod N [F]または候補rrrは、r'r′r ′だけでなく、その小さい倍数2r'、3r '、\ dotsも考慮2r',3r',…2r′,3r′,…2r ′ , 3r ′ , \dotsして、これらがxの実際の順序であるかどうかを確認する必要がありxxxます。[...この】技術は、最も困難なために試験の予想される数を減少させるnnnからO(loglogn)O(log⁡log⁡n)O(\log \log n)をO(1)O(1)O(1)第一の（場合logn)1+ϵlog⁡n)1+ϵ\log n)^{1+\epsilon}の倍数r'r′r ′と考えられている[Odylzko 1995]。 [Odylzko 1995]への言及は「個人的なコミュニケーション」ですが、Peter ShorとAndrew Odlyzkoがこれについて話し合ったときは出席していませんでした。試行回数はO（1）に削減されO(1)O(1)O(1)ます。これの証拠を知っていますか？
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順不同リストを与えられた未知の値
誰でも次の問題で私を助けることができますか？ 私はいくつかの値を検索したいai,bjai,bja_i,b_j（MOD NNN）i=1,2,…,K,j=1,2,…,Ki=1,2,…,K,j=1,2,…,Ki=1,2,…,K, j=1,2,…,K （例えばK=6K=6K=6のリスト与え、）K2K2K^2という値具体的な対応関係を知らずに、差ai−bj(modN)ai−bj(modN)a_i-b_j\pmod N（たとえばN=251N=251N=251）に対応します。値以来ai,bj(modN)ai,bj(modN)a_i,b_j\pmod N一意に違い与え定義されていないai−bj(modN)ai−bj(modN)a_i-b_j\pmod N、我々は探して任意の 値の有効割り当て。 間違いなく、リスト内のK2K2K^2数の各順列を試して（合計K2!K2!K^2!場合）、変数としてai,bjai,bja_i,b_jを使用してモジュラー方程式を解くことは実行不可能です。 実際、この問題はNTRU署名スキームの初期バージョンへの暗号解読に関する論文（http://eprint.iacr.org/2001/005）で発生します。しかし、著者は「単純なバックトラックアルゴリズムが1つのソリューションを見つける」という文（3.3節）を1つだけ書いたので、だれかがさらに説明できますか？さらに、著者は「すべての循環シフト{((ai+M)modN,(bi+M)modN}Ki=1{((ai+M)modN,(bi+M)modN}i=1K\{((a_i+M)\mod N,(b_i+M)\mod N\}_{i=1}^Kまたはスワップ({(N−1−bi,N−1−ai)}Ki=1)({(N−1−bi,N−1−ai)}i=1K)(\{(N-1-b_i,N-1-a_i)\}_{i=1}^K)はa_i-b_j \ mod Nと同じパターンにai−bjmodNai−bjmodNa_i-b_j\mod Nなります。このステートメントは役に立ちますか？
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方程式のシステムはモジュロ解決される
私は、任意のkについてkを法とする線形方程式を解く複雑性に興味があります（そして、素数に特別な関心があります）、特に： 問題。 kを法とするn個の未知数におけるm個の線形方程式の与えられたシステムに対して、解は存在しますか？mmmnnnkkk その紙に抽象的には、logspace-MODクラスの構造と重要性クラスのモッズのk L、彼らは"という、Buntrock、ダム、Hertrampf、およびMeinel請求有限リング上で線形代数のすべての標準的な問題ことを証明することにより、その重要性を実証しは、これらのクラスに対して完全ですZ / k ZZ/kZ\mathbb Z/k\mathbb Z。よく見ると、話はもっと複雑です。たとえば、Buntrock et al。（Kavehが発見した以前の自由にアクセス可能なドラフトの校正で、ありがとう！）線形方程式の解法は代わりに補クラスcoMod k Lにあることを示すkプライム。このクラスは、に等しいことないことが知られていないのModのk個のLのためのk個の線型方程式系を解くかのmodについて私が心配ですが、彼らがどんな発言をしないという事実である-ことを気にコンポジット、決してkがさえている含まれています中coModのk個のLのためのk個の複合！ 質問： すべての正のkについて、coMod k Lに 含まれるkを法とする線形方程式系を解きますか？ あなたは、方程式のシステムを解くことができれば、より高い電力を法Qプライムのpは、あなたは彼らがモジュロ解決することができますpは同様。qを法とする連立方程式を解くのはcoMod p L -hardです。この問題がMod q Lにあることを示すことができれば、すべてのk に対して Mod k L = coMod k Lを示すことになります。それを証明するのは難しいでしょう。しかし、それは coMod k Lですか？
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