与えられた境界より大きい素数を見つける

以下の問題で知られている決定論的な多項式時間アルゴリズムです。

入力：自然数（バイナリエンコーディング） $n$

出力：素数。 $p > n$

（Leonard Adlemanによる未解決の問題のリストによると、問題は1995年に未解決でした。）

— ヴィンチェンツォ
ソース

+1：対応する自然決定問題は素数テスト（

）ではなく、次の問題であることを思い出しました：

場合、区間

素数がありますか？

P

$\mathbf{P}$

a < b

$a<b$

[a, b]

$[a,b]$

— カヴェー

@Kaveh：3本の指が私を指さしています。コメントでの回答を禁止するポリシーを設定する必要があります;）

— Hsien-Chih Chang張顯之

回答:

現在の最良の無条件の結果が素数発見Odlyzko、によって与えられたで時間。Polymath4プロジェクトの強力な推測では、これがGRHのような合理的な数論的仮定の下で多項式時間で実行できるかどうかを解決しようとしています。 $p >N$ $O(N^{1/2 + o(1)})$

http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Finding_primes

現在、プロジェクトは次の質問に答えようとしています。

数与えられた場合 $N$ との間の間隔およびは、時間チェックインいくつかのためにインターバルが素数を含む場合。 $N$ $2N$ $O(N^{1/2 - c})$ $c>0$

これまでのところ、区間内の素数のパリティを決定する戦略があります。

http://polymathprojects.org/2010/06/29/draft-version-of-polymath4-paper/

— コンハン
ソース

数論の標準予想を仮定し、それは

Cramérの予想：番目の素数とする。その後、 $p_n$ 。 $p_{n+1}-p_n = O(\log^2 p_n)$

私たちは、単により大きく、各番号に素数判定テストを実行することによって、問題の決定性多項式時間アルゴリズムを持つから始める。（もちろん、は十分に大きい必要がありますが小さいは個別に扱います。） $n$ $n+1$ $n$ $n$

しかし、これが無条件に証明できるかどうかはわかりません。

— Hsien-Chih Chang張顯之
ソース

私はクラメルの予想がどれほど標準的かについて興味があります。オッズは反対だという印象を受けました。

— コンハン

@Cong：私は推測にあまり精通していません。私の印象は、数値結果に証拠があり、ランダムモデルにも当てはまるということです。推測が間違っているかもしれないという兆候はありますか？たぶん、「標準」ではなく「強い」と言うべきでしょう。

— Hsien-Chih Chang張顯之

シェンロン-志@：私はこのことについてはほとんど知っているが、推測上のwikiからリンクされているグランビルこの記事を、（いくつかの伝聞と博学プロジェクトに渡して興味を持つほか）、そう示唆しているようだ：dartmouth.edu/~チャンス/ chance_news / for_chance_news /リーマン/ ...

— コングハン

@Cong：いい読み物のように思えるので、あと数日で説明します！

— Hsien-Chih Chang張顯之