タグ付けされた質問 「nt.number-theory」

数論における質問

4
多項式のコドメインのBase-k表現-コンテキストフリーですか？
ジェフリーシャリットのオートマタ理論の第2コースの第4章では、次の問題が未解決としてリストされています。 ましょう、その結果有理係数を有する多項式であるすべてについて。pの次数が\ leqslant 1である場合にのみ、のすべての整数のbase-k表現の言語がコンテキストフリーであることを証明または反証します。P （N ）p(n)p(n)P （N ）∈ Np(n)∈Np(n) \in \mathbb{N}N ∈ Nn∈Nn \in \mathbb{N} { P （N ）| N ⩾ 0 } {p(n)∣n⩾0}\{p(n) \mid n \geqslant 0\}P pp⩽ 1⩽1\leqslant 1 現在の状況はどうですか（2018年10月現在）？それは証明されていますか？特別な場合はどうですか？
1
GCDを計算するための量子NCアルゴリズムはありますか？
MathOverflowに関する私の質問の1つに対するコメントから、対ある GCD に関する質問は、 vs.にある整数因子分解に関する質問に似ていると感じます。P P N PN CNC\mathsf{NC}PP\mathsf{P}PP\mathsf{P}N PNP\mathsf{NP} 整数因数分解のための量子多項式時間（）アルゴリズムがあるので、GCDのための"quantum "アルゴリズムのようなものはありますか？B Q PN CNC\mathsf{NC}B Q PBQP\mathsf{BQP} 関連質問：最大公約数の複雑さ（gcd）
2
正常に解決されたCollat​​z予想の「最も近い」問題とは何ですか？
私は、コラッツ予想の「最も近い」（そして「最も複雑な」）問題が解決したことに興味があります（エルドスは有名に「数学はまだそのような問題に熟していない」と言いました）。「コラッツのような」問題のクラスは決定できないことが証明されています。ただし、HofstadterのMIUゲームなどの漠然と類似した問題（解決済みですが、明らかにおもちゃの問題の方が多い）は実際に決定可能であるか、解決されています。 関連する質問 Collat​​z予想と文法/オートマトン
2
Divisibilityの最も効率的なアルゴリズムは何ですか？
何Divisibity意思決定問題のために、今日知られている最も効率的な（時間の複雑さ）アルゴリズムである：言う、与えられた二つの整数とB、し除算bは？私が求めるのは、（必ずしも）剰余計算のアルゴリズムではないことを明確にしましょう。aがbを除算するかどうかを知りたいだけです。より具体的には、私の質問は、O （m log m log log m ）よりも優れた時間の複雑さを伴う除算のための最近のアルゴリズムが存在するかどうかです。ここで、mはmax { aのビット数ですaaabbbaaabbbaaabbbO(mlogmloglogm)O(mlog⁡mlog⁡log⁡m)O(m\log m\log\log m)mmm。さらに、はこの問題の下限ですか？max{a,b}max{a,b}\max\{a,b\}Ω(mlogmloglogm)Ω(mlog⁡mlog⁡log⁡m)\Omega(m\log m\log\log m) 感謝と敬意、そしてこれがそのような素朴な質問であれば申し訳ありません。
2
有限アーベル群のメンバーシップテストの複雑さ
次のabelianサブグループのメンバーシップテストの問題を考えます。 入力： 有限アーベル群G=Zd1×Zd1…×ZdmG=Zd1×Zd1…×ZdmG=\mathbb{Z}_{d_1}\times\mathbb{Z}_{d_1}\ldots\times\mathbb{Z}_{d_m}任意大きいとdidid_i。 発電セット{h1,…,hn}{h1,…,hn}\lbrace h_1,\ldots,h_n\rbrace亜群のH⊂GH⊂GH\subset G。 要素b∈Gb∈Gb\in G。 出力： 'はい'であればb∈Hb∈Hb\in Hの別の場所に'no'と」。 質問：この問題は、従来のコンピューターで効率的に解決できますか？古典的なチューリングマシンの通常の意味でO(polylog|G|)O(polylog|G|)O(\text{polylog}|G|)時間とメモリリソースを使用する場合、アルゴリズムは効率的だと思います。任意のサブグループHに対してと仮定できることに注意してください。入力サイズこの問題のは、⌈ ログ| G | ⌉。n=O(log|G|)n=O(log⁡|G|)n= O(\log|G|)HHH⌈log|G|⌉⌈log⁡|G|⌉\lceil \log|G|\rceil ややモチベーション。直観的には、線形合同システムまたは線形ディオファントス方程式を解くためのアルゴリズムで問題に取り組むことができるように見えます（以下を参照）。ただし、整数との計算のコンテキストで使用される計算効率には、強い多項式時間と弱い多項式時間、代数とビット複雑度などの異なる概念があるようです。私はこれらの定義の専門家ではなく、この質問を明確に解決する参考文献を見つけることができません。 更新：問題に対する答えは「はい」です。 遅い答えで、私はスミス正規形に基づいた方法を提案しました。これは、規定された形を持つすべてのグループにとって効率的です。 すべての特定の場合におけるものBlondinショーによって回答フォームであるD iは = NをE 、I、I及びN iが、E iが「小さな整数」であり、問題が属するNC 3 ⊂ P。小さな整数は、入力サイズO （log log | A |）で指数関数的に小さくなります。didid_idi=Neiidi=Nieid_i= N_i^{e_i}Ni,eiNi,eiN_i, e_iNC3⊂PNC3⊂P\text{NC}^3\subset \text{P}O(loglog|A|)O(log⁡log⁡|A|)O(\log\log|A|) 私の答えでは、この問題を解決するために「直交サブグループ」を使用しましたが、これは必要ないと考えています。私が読んでいる行エシェロンフォームの方法に基づいて、将来的にはより直接的な答えを提供しようとします。 いくつかの可能なアプローチ この問題は、線形合同システムおよび/または線形ディオファンタス方程式の解法と密接に関連しています。完了のためにこれらの接続を簡単に要約します。 取る、その列生成セットの要素である行列であることを { H 1、... 、HのN }。次の連立方程式AAA{h1,…,hn}{h1,…,hn}\lbrace h_1, \ldots, …
3
見つけるためにデBruijnグラフシーケンスを使用
ショーン・アンダーソンは、公開されたビットハッキングいじる見つけるために、エリック・コールのアルゴリズムを含むのビットの整数でのルックアップ乗算として動作を制御します。N V O （LG （Nを））⌈log2v⌉⌈log2⁡v⌉\lceil\log_2 v \rceilNNNvvvO(lg(N))O(lg⁡(N))O(\lg(N)) このアルゴリズムは、De Bruijnシーケンスの「マジック」番号に依存しています。誰かがここで使用されているシーケンスの基本的な数学特性を説明できますか？ uint32_t v; // find the log base 2 of 32-bit v int r; // result goes here static const int MultiplyDeBruijnBitPosition[32] = { 0, 9, 1, 10, 13, 21, 2, 29, 11, 14, 16, 18, 22, 25, 3, 30, 8, 12, …
3
マーリンはアーサーにある金額について納得させることができますか？
無限の計算リソースを持っているマーリンは、アーサーに 用の（N 、M 、K ）と、K = O （対数Nを）と、M = O （N ）。 この合計を簡単な方法（モジュラーべき乗と加算）で計算するには、時間N （log log N ）2 + o （m|∑p≤N, p primepkm|∑p≤N, p primepkm|\sum_{p\le N,\ p\text{ prime}}p^k(N,m,k)(N,m,k)(N,m,k)k=O(logN)k=O(log⁡N)k=O(\log N)m=O(N).m=O(N).m=O(N). FFTベースの乗算を使用。*ただし、アーサーはO（N）操作しか実行できません。N(loglogN)2+o(1)N(log⁡log⁡N)2+o(1)N(\log\log N)^{2+o(1)}O(N)O(N)O(N) （表記は、この問題の以前のバージョンとの互換性のために：和に等しいう、次に問題があるかどうかをαは整数です。）mαmαm\alphaαα\alpha マーリンは長さストリングでアーサーを説得できますか？そうでない場合、彼はアーサーをインタラクティブな証明で納得させることができます（もちろん、完全なコミュニケーションはO （N ）でなければなりません）。その場合、Merlinは長さo （N ）の文字列を使用できますか？アーサーはo （N ）時間を使用できますか？O(N)O(N)O(N)O(N)O(N)O(N)o(N)o(N)o(N)o(N)o(N)o(N) アーサーは非決定論や他の特別なツール（量子メソッド、マーリン以外の神託など）にアクセスできませんが、必要に応じてスペースがあります。もちろん、アーサーは合計を直接計算する必要はなく、与えられたトリプル（N、m、k）が方程式を真または偽にすることを確信する必要があるだけです。O(N)O(N)O(N) そのノートが時間に和を計算することが可能であるO （N 1 / 2 + ε）使用Lagarias-Odlyzkoの方法。以下のためのk > 0合計が超線形であるので、（なし、例えば、モジュラー化）を直接保存することはできませんが、それは速いアルゴリズムが存在するかどうかは明らかではありません。k=0k=0k=0O(N1/2+ε)O(N1/2+ε)O(N^{1/2+\varepsilon})k>0k>0k>0 また、直接の電力供給と加算による以外の合計（モジュラーまたはその他）を計算するアルゴリズムにも興味があります。 * …
1
拡張ユークリッドアルゴリズムの「オーバーフロー」
質問をする場所を間違えた場合は申し訳ありません（たぶん、stackoverflow.com / mathoverflow.netに行くべきでしょうか？）。 （である拡張ユークリッドアルゴリズムをBézoutの係数を評価する際に証拠があるのだろうか、S及びTアイデンティティによう + BT = GCD（、 bは））、いくつかの合理的な値（A、Bに応じて、Iの推測を超えないであろうが）。特定の汎用プログラミング言語での特定の実装では、プログラムのオーバーフローの正確さに興味があります。 正確には、Victor Shoupのアルゴリズムの説明を使用できます（彼の本から無料で入手できる彼の著書「数論と代数の計算入門」の4.2 ）。
2
Nのビットを効率的に取得！？
与えられたとM、取得することも可能であるMの番目のビット（またはいずれかの小型基地の桁）Nを！時間/空間におけるO （P （L N （N ）、L N （M ）））、P （X 、Yは）におけるいくつかの多項式関数であり、X及びY？NNNMMMMMMN！N!N!O （p （l n （N）、l n （M）））O(p(ln(N),ln(M)))O( p( ln(N), ln(M) ) )p （x 、y）p(x,y)p(x, y)バツxxyyy つまり、与えられた、M = 2 μ（とN、M ∈ Z）、ビットを見つける2 μの（2 ηを）！in O （p （η 、μ ））。N= 2ηN=2ηN = 2^\etaM= 2μM=2μM = 2^\muNNNM∈ ZM∈ZM \in \mathbb{Z}2μ2μ2^\mu（2η）！(2η)!(2^\eta)!O （p （η、μ ））O(p(η,μ))O( …
1
整数のリストの2つの積を比較しますか？
境界マニチュードの正の整数の2つのリストがあり、各リストのすべての要素の積を取るとします。どの製品が大きいかを判断する最良の方法は何ですか？ もちろん、単純に各積を計算することもできますが、積の桁数は項の数とともに直線的に増加するため、計算全体が二次式になるため、より効率的なアプローチがあることを望んでいます。 乗算する代わりに加算する場合は、最初のリストからエントリをインクリメンタルに追加し、2番目のリストから減算する「ジッパー方式」を使用して、（大規模な）総和を計算する必要を回避できます。製品の類似の手法は、エントリの対数を合計することですが、問題は、ログの計算に不正確な算術を使用する必要があることです。数値誤差が無関係であることを証明する方法がない限り？
1
素因数分解の因数分解から整数積の因数分解へ（平均の場合）
私の質問は、因数分解の難易度に基づいて構築できるさまざまな一方向関数の候補のセキュリティの同等性についてです。 の問題を想定して FACTORING：[考えるランダム素数のためにP 、Q &lt; 2 N、検索P、Qを。]N=PQN=PQN = PQP,Q&lt;2nP,Q&lt;2nP, Q < 2^nPPPQQQ 無視できない確率で多項式時間で解くことができない場合、関数 PRIME-MULT：[ビット文字列を入力として与え、xをシードとして使用して2つのランダムな素数PおよびQを生成します（ここで、P、Qの長さは、xの長さよりも多項的に短いだけです）。次に、P Qを出力します。]xxxxxxPPPQQQPPPQQQxxxPQPQPQ 一方向であることを示すことができます。 別の候補一方向関数は INTEGER-MULT：[ 入力としてランダムな整数を指定、出力A B。 ]A,B&lt;2nA,B&lt;2nA, B < 2^nABABA B INTEGER-MULTには、PRIME-MULTに比べて定義が簡単であるという利点があります。（特に、PRIME-MULTでは、シードが素数であるP 、Qを生成できない可能性があります（幸い無視できます）。）xxxP,QP,QP, Q 少なくとも2つの異なる場所（Arora-Barak、計算の複雑さ、ページ177、脚注2）と（Vadhanの暗号解読入門講義ノート）では、INTEGER-MULTは因数分解の平均的な硬度を仮定する一方通行であると述べられています。ただし、これら2つはどちらも、この事実の理由も参照もありません。 だから問題は： 無視できない確率の多項式時間因数分解で、無視できない確率のINTEGER-MULTを反転させるにはどうすればよいでしょうか。N=PQN=PQN = PQ 考える：ここでは可能なアプローチ（！私たちが見るようにする作業をしないこと）である乗算、N（多項式が）はるかに長いランダムな整数でA "を取得するためにA = N Aは、"。アイデアは、A ’が非常に大きく、P 、Qにほぼ等しいサイズの素因数がたくさんあるため、P 、QがAの素因数の中で「際立って」いないということです。次に、Aは、指定された範囲でほぼ一様にランダムな整数の分布を持ちます（[ 0N=PQN=PQN = PQNNNA′A′A'A=NA′A=NA′A = NA'A′A′A'P,QP,QP, QP,QP,QP, QAAAAAA）です。次は、整数選択 Bが同じ範囲からランダム [ …
2
サブセット番号
修正K ≥ 5k≥5k\ge5。十分な大きさのについて、サイズんんnが{ 1 .. n }{1 ..ん}\{1..n\}のすべてのサブセットにn / kん/kn/kを正の整数で正確にラベル付けします{ 1 ... T}{1 ...T}\{1...T\}。このラベル付けが次のプロパティを満たすようにしたい：整数のセットSSSあり、st 場合kkkサイズのサブセットn / kん/kn/k交差する（すなわち、これらのセットの和集合は、すべてのセットを形成しない{ 1 .. n }{1 ..ん}\{1..n\}）は、そのラベルの合計はであるSSS。 そうでなければ、それらのラベルの合計はありませんSSS。 そこに存在するかK ≥ 5k≥5k\ge5とラベリング、ST T⋅ | S| =O（ 1.99ん）T⋅|S|=O（1.99ん）T\cdot|S|=O(1.99^n)？ たとえば、任意のkkkに対して、次の方法でサブセットにラベルを付けることができます。 T= 2んT=2んT=2^n、各サブセットが有するんんnその数のビットは：最初のビットが同じである111サブセットが含まれているときに限り111第2のビットが同じで、111サブセットが含まときに限り222などそれは、参照することは容易だSSS唯一の要素含ま2ん− 12ん−12^n-1。しかし、ここでT⋅ | S| =Θ（ 2ん）T⋅|S|=Θ（2ん）T\cdot|S|=\Theta(2^n)。もっと上手くできる？
1
パワー間の距離を計算するアルゴリズム
素数、をすばやく計算できますかa,ba,ba, bminx,y&gt;0|ax−by|minx,y&gt;0|ax−by| \min_{x, y > 0} |a^x - b^y| ここで、x,yx,yx, yは整数です。明らかに、x=y=0x=y=0x = y = 0をとると、面白くない答えが得られます。一般に、これらの力はどの程度近づくことができますか？また、最小化x、yをすばやく計算するにはどうすればよいx,yx,yx, yですか？
弊社のサイトを使用することにより、あなたは弊社のクッキーポリシーおよびプライバシーポリシーを読み、理解したものとみなされます。
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.