拡張ユークリッドアルゴリズムの「オーバーフロー」

質問をする場所を間違えた場合は申し訳ありません（たぶん、stackoverflow.com / mathoverflow.netに行くべきでしょうか？）。

（である拡張ユークリッドアルゴリズムをBézoutの係数を評価する際に証拠があるのだろうか、S及びTアイデンティティによう + BT = GCD（、 bは））、いくつかの合理的な値（A、Bに応じて、Iの推測を超えないであろうが）。特定の汎用プログラミング言語での特定の実装では、プログラムのオーバーフローの正確さに興味があります。

正確には、Victor Shoupのアルゴリズムの説明を使用できます（彼の本から無料で入手できる彼の著書「数論と代数の計算入門」の4.2 ）。

ds.algorithms nt.number-theory

— アルテム・ペレニツィン
ソース

これは間違いなく範囲内だと思います。

— スレシュヴェンカト

これは、Bézoutのアイデンティティ/補題（代数幾何学におけるBézoutの定理と混同しないでください）と呼ばれます。

補題。すべての整数、いくつかの整数。また、と仮定することもできますおよび。 $a,b \neq 0$ $\gcd(a,b) = ax + by$ $x,y$ $|x| \leq |b|$ $|y| \leq |a|$

証明は標準代数の教科書にあります。また、gcdプロセスの反復の帰納法によってそれを自分で証明することができます。

一般に、これは乗法ユークリッド関数持つすべてのユークリッド領域当てはまります。ここで場合、乗法です。 $R$ $f$ $R = \mathbf{Z}$ $f(x) = |x|$

— Hsien-Chih Chang張顯之
ソース

あなたはウィキペディアを参照していますが、そのような言葉はありません。「標準代数の教科書」に名前を付けていただけますか？抽象代数のRotmanの最初のコースを調べました。Euclの説明があります。アルゴリズムですが、係数にはそのような境界はありません。私の投稿で参照されたShoupの本の同じ話。

— アルテムペレニツィン

京城Ruohonen、によって本で定理2.5を試してみてくださいmath.tut.fi/~ruohonen/MC.pdf。私の母性が正しければ、Fraleignの本の本文または演習に補題があります。amazon.com/First-Course-Abstract-Algebra-7th/dp/0201763907

— Hsien-Chih Chang張顯之

これは一般化できますか？言い溶液が存在よう？

gcd (a_{1}, \dots, a_{n}) = \sum_{i} x_{i} a_{i}

$\gcd(a_1,\ldots,a_n) = \sum_{i} x_ia_i$

\sum_{i} | x_{i} | \leq \sum_{i} | a_{i} |

$\sum_{i}|x_i|\leq \sum_{i}|a_i|$

— チャオ徐