この数論問題はどの複雑性クラスに属しますか？

'与えられ、ある、ある' -completeは。 $a,b,c\in\Bbb N$ $x,y\in\Bbb N$ $ax^2+by=c$ $\mathsf{NP}$

どの複雑度クラスが '、、 'に属しますか？ $a,b,c\in\Bbb N$ $x,y\in\Bbb N$ $ax^2+by^2=c$

最初の問題がNP完全なのはなぜですか？参照をいただければ幸いです。:)

— マイケル・ウェハ

@ MichaelWehar、Quadratic DiophantineはNP完全です。ゲイリーとジョンソンでもそうだと思います。

— カヴェ

これは、Garey and JohnsonのAN8、ページ250：Manders and Adleman、「NP完全決定問題、バイナリ2次関数」、1978年です。

— カベ

存在合理的解決策はそれ故に、ファクタリングの多項式還元性である

：使用ハッセ原理を、そのチェックになるヒルベルト記号

、すべての素数のための

。

N P \cap c o N P

$\mathrm{NP}\cap\mathrm{coNP}$

(a / c, b / c)_{p} = 1

$(a/c,b/c)_p=1$

p ∣ 2 a b c

$p\mid2abc$

— エミールイェジャベク3.0

（整数または合理的可解性のいずれかのために）あなたがより良いファクタリングよりも何かを得る可能性が低いことが注意：すでに特殊なケース

（すなわち、かどうか

2つの正方形の和である）すべての素数かどうかを尋ねられ

a = b = 1

$a=b=1$

c

$c$

でも多重度が発生し

が、私の知る限り、

因数分解するよりも効率的にこれをテストする方法はわかりません。cf. mathoverflow.net/q/57981。

p \equiv 3 (\mod 4)

$p\equiv3\pmod4$

c

$c$

c

$c$

— エミルイェジャベク3.0

後で追加：コメントで述べたように、a、b、およびcが正の場合、NPの上限は自明です。

この論文の定理1.2は、2つの変数の特定のディオファンチン方程式に解があるかどうかを決定することはNPであることを示しています。

— マヌ
ソース

これは良い答えではありません（明らかなことを述べています）。

これは、尋ねられた質問に答えているようです。さらに条件を設定する場合は、質問に含める必要があります。

— アンドラスサラモン

AndrásSalamon@ときに、上限NPは自明と思わないと

両方非負である（したがって

及び

多項式中で囲まれている、

、および

）。本当の問題は、NPにとって難しいかどうかです。

a

$a$

b

$b$

x

$x$

y

$y$

a

$a$

b

$b$

c

$c$

— カベ

@Kaveh：はい、しかしそれは尋ねられたものではありません。さらに、a、b、cは2進数で与えられると想定しているので、xとyはnで指数関数的にのみ制限されていますか？

— アンドラスサラモン

@AndrásSalamon、そのサイズは

多項式で区切られています。私が言ったように、NPにいることは問題にとってささいなことです。論文は、問題ではないより一般的なケースについて話している。

n

$n$

— カベ