サーナックのメビウス予想に対する反例として効率的に計算可能な機能

最近、ギル・カライとディック・リプトンの両方が、数論とリーマン仮説の専門家であるピーター・サーナックによって提案された興味深い予想について素晴らしい記事を書きました。

推測。してみましょう可能メビウス関数。仮定である入力を有する関数のバイナリ表現の形で、その後 $\mu(k)$ $f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}$ $\mathsf{AC}^0$ $k$ $k$
$\sum_{k \leq n} μ （ k ） \cdot f （ k ） = o （ n ）。$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = o(n) \text.$

$f(k) = 1$ 場合、等価な形式の素数定理があることに注意してください。

更新：MathOverflowのBen Greenは、推測を証明する短い論文を提供しています。論文を見てください。

一方、設定することにより $f(k) = \mu(k)$ 範囲がなるようにわずかに変更して $\\{-1,1\\}$ ）、結果の合計の推定値は

\sum_{k \leq n} μ （ k ）^{2} = Ω （ n ） 。

$\sum_{k \leq n} \mu(k)^2 = \Omega(n) \text.$ 上限はことがある

μ (k)

$\mu(k)$ で計算することができる

U P \cap c o U P \subseteq N P \cap c o N P

$\mathsf{UP} \cap \mathsf{coUP} \subseteq \mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$ 制約は、上に提案ので、

f (k)

$f(k)$ 推測では、

N P

$\mathsf{NP}$ 関数に緩和することはできません。私の質問は：

最低の複雑性クラスは何である $\mathsf{C}$ 、我々が現在知っているが、そのようなその関数 $f(k)$ で $\mathsf{C}$ を満たす推定
$\sum_{k \leq n} μ （ k ） \cdot f （ k ） = Ω （ n ）？$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = \Omega(n) \text{?}$ 特に、一部の理論家は計算 $\mu(k)$ が $\mathsf{P}$ にないと信じているため、他の $\mathsf{P}$ 関数 $f(k)$ 合計の線形成長を意味しますか？さらに良い境界を取得できますか？

— シェンチーチャン張顯之
ソース

ファクタリングはそのクラスにあるため、P ^ {BQNC}のようないくつかの量子クラスも動作するはずです。

— ロビンコタリ

これは、固定に対して場合でも知られていますか？

f (k) = k_{i}

$f(k) = k_i$

i

$i$

— マヌー

@エマヌエーレ、良い質問。kのバイナリ表現のi番目のビットのインジケーター関数は線形の「ブラケット多項式」ですが、係数が非常に高いため、メビウス関数と有界の相関に関するグリーンタオの定理からは従わない可能性があります。 -ステップnilsequences。有界ステップnilsequencesは特殊なケースとして、ブラケット多項式度を制限されているが、その結果は、係数の大きさにはいくつかの制限があるかもしれない

— ルカ・トレビーザン

そして、それはで知られていますか？

f \in N C^{0}

$f \in NC^0$

— -domotorp

範囲またはなどの関数が必要ですか？

f

$f$

{- 1, 0, 1}

$\{-1,0,1\}$

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$

— ユッカスオメラ

この問題に関して興味深い展開がありましたが、をACC（2）に置き換える（つまり、mod 2ゲートも許可する）ことは、まだ十分に範囲外です。このMOの質問https://mathoverflow.net/questions/57543/walsh-fourier-transform-of-the-mobius-functionおよびこのhttps://mathoverflow.netで、Ben Greenの定理を超えた進歩を見つけることができます。 / questions / 97261 / mobius-randomness-of-the-rudin-shapiro-sequence。さらに、ジャンバーゲンは、すべての単調関数メビウスランダム性を証明しました（2進数の展開に関して）。 $AC^0$ $f$

— ギル・カライ
ソース