タグ付けされた質問 「np-hardness」

NP硬度とNP完全性に関する質問。

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多項式時間で2つの順列の合計を特定できますか？
最近cs.seで2つの 質問がありましたが、これらは次の質問に関連するか、または次の質問と同等の特別なケースがありました。 ようなシーケンスa1,a2,…ana1,a2,…ana_1, a_2, \ldots a_nのa nがます 二置換の和に分解との、、その結果。nnn∑ni=1ai=n(n+1).∑i=1nai=n(n+1).\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1).ππ\piσσ\sigma1…n1…n1 \dots nai=πi+σiai=πi+σia_i = \pi_i + \sigma_i\, いくつかの必要条件があります： がになるようにソートされる場合、aiaia_ia1≤a2≤…≤ana1≤a2≤…≤ana_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\, ∑i=1kai≥k(k+1).∑i=1kai≥k(k+1).\sum_{i=1}^k a_i \geq k(k+1). ただし、これらの条件は十分ではありません。このmath.seの質問の答えから、シーケンス5,5,5,9,9,9は2つの順列の合計として分解することはできません（1または5の両方が4）とペアになります。 私の質問は、この問題の複雑さは何ですか？
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「XがNP完全」とは、「＃Xが#P完全」を意味しますか？
ましょ NPで表すA（決定）問題をし、＃聞かせXは、そのカウントバージョンを表します。XXXXXX どのような条件下で「XはNP完全」であることが知られています ⟹⟹\implies 「#Xは＃P-complete」ですか？ もちろん、par約的な削減の存在はそのような条件の1つですが、これは明白であり、私が認識している唯一のそのような条件です。最終的な目標は、条件が不要であることを示すことです。 正式に言えば、一つは計数問題＃1で始まる必要があり関数によって定義されるF ：{ 0 、1 } * → N、次に決定問題を定義Xを上に入力された文字列SとしてF （S ）≠ 0？XXXf:{0,1}∗→Nf:{0,1}∗→Nf : \{0,1\}^* \to \mathbb{N}XXXsssf(s)≠0f(s)≠0f(s) \ne 0
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効率的に計算できないが学習可能な関数
（[1]の定理1および3を参照）大まかに言えば、適切な条件下では、多項式時間でチューリングマシンによって効率的に計算できる関数（ "効率的に計算可能"）は多項式ニューラルネットワークで表現できる合理的なサイズで、したがって、任意の入力分布の下で多項式サンプルの複雑さ（「学習可能」）で学習できます。 ここで、「学習可能」とは、計算の複雑さに関係なく、サンプルの複雑さにのみ関係します。 非常に密接に関連する問題について疑問に思っています：多項式時間でチューリングマシンによって効率的に計算できない関数（「非効率的に計算できない」）が存在する一方で、多項式サンプルの複雑さ（「学習可能」）で学習できる関数があります入力分布の下で？ [1] Roi Livni、Shai Shalev-Shwartz、Ohad Shamir、「ニューラルネットワークのトレーニングの計算効率について」、2014
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「本当に難しい問題はどこにあるのか」が持続しましたか？このテーマに関する現在のアイデアは何ですか？
この論文は非常に興味深いことがわかりました。要約すると、実際にNP完全問題の最悪の場合を見つけることがめったにない理由について説明します。この記事のアイデアは、インスタンスは通常、非常に過少または過大に制約されており、どちらも比較的簡単に解決できるということです。次に、いくつかの問題に対して「制約」の尺度を提案します。これらの問題には、解の可能性が0から100％の可能性への「フェーズ遷移」があるようです。次に、仮説を立てます。 すべてのNP完全（またはすべてのNP問題）問題には「制約」の尺度があること。 NP完全問題ごとに、「制約」の関数として存在する解の確率のグラフを作成できます。さらに、そのグラフには、その確率が急速かつ劇的に増加する相転移が含まれます。 NP完全問題の最悪の例は、その相転移にあります。 あるNP完全問題から別のNP完全問題への変換では、その相転移に問題があるかどうかは不変のままです。 この論文は1991年に発行されました。私の質問は、過去25年間にこれらのアイデアに関するフォローアップ研究があったかどうかです。もしそうなら、それらについての現在の主流の考え方は何ですか？彼らは正しい、間違っている、無関係であるとわかりましたか？
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行列のカーネルに、すべてが-1、0、または1である非ゼロベクトルが含まれるかどうかを決定します
所与によってバイナリ行列（エントリがまたは）、問題は、2つのバイナリベクトルが存在するかどうかを決定することであるよう（すべての操作を介して実行）。この問題はNP困難ですか？mmmnnnMMM000111v1≠v2v1≠v2v_1 \ne v_2Mv1=Mv2Mv1=Mv2Mv_1 = Mv_2ZZ\mathbb{Z} 証人として2つのベクトルを与えることができるので、明らかにNPにあります。 同等：が与えられた場合、ようなゼロ以外のベクトルがありますか？MMMv∈{−1,0,1}nv∈{−1,0,1}nv\in \{-1,0,1\}^nMv=0Mv=0Mv=0 同等：上のベクトル与えられた、ような2つの異なるサブセットがあります？nnnX={x1,…,xn}X={x1,…,xn}X=\{x_1,\dots,x_n\}{0,1}m{0,1}m\{0,1\}^mA,B⊆XA,B⊆XA,B \subseteq X∑x∈Ax=∑x∈Bx∑x∈Ax=∑x∈Bx\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} x
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ラドナーの定理とシェーファーの定理
「複雑さを数える際に勝利を宣言する時ですか？」という記事を読みながら 以上で「ゲーデルの失われた文字とP = NP」のブログ、彼らはCSPのための二分法を述べました。いくつかのリンクをたどり、グーグルとウィキピングを行った後、私はラドナーの定理に出会いました： ラドナーの定理： もし、その後に問題がある でない -completeが。N P ∖ P N PP≠NPP≠NP{\bf P} \ne {\bf NP}NP∖PNP∖P{\bf NP} \setminus {\bf P}NPNP{\bf NP} そしてシェーファーの定理へ： シェーファーの二分法定理：\ {0、1 \}上のすべての制約言語に対して、\ \ Gammaがシェーファーの場合、{\ bf CSP}（\ Gamma）は多項式時間可解です。それ以外の場合、{\ bf CSP}（\ Gamma）は{\ bf NP} -completeです。{ 0 、1 } Γ C S P（Γ ）C S P（Γ ）N P Γ …
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次の問題で多項式時間にシーケンスが存在するかどうかを見つけることは可能ですか？
私はしばらくの間、次の問題について考えてきましたが、そのための多項式解を見つけていません。ブルートフォースのみ。私もNP-Completeの問題を無事に削減しようとしています。 問題は次のとおりです。 お持ちソート集合{(A1,B1),(A2,B2),…,(An,Bn)}{(A1,B1),(A2,B2),…,(An,Bn)}\{(A_1, B_1), (A_2, B_2), \ldots, (A_n, B_n)\}の正の整数のペアを。 (Ai,Bi)&lt;(Aj,Bj)⇔Ai&lt;Aj∨(Ai=Aj∧Bi&lt;Bj)(Ai,Bi)&lt;(Aj,Bj)⇔Ai&lt;Aj∨(Ai=Aj∧Bi&lt;Bj)(A_i, B_i) < (A_j, B_j) \Leftrightarrow A_i < A_j \lor (A_i = A_j \land B_i < B_j) (Ai,Bi)=(Aj,Bj)⇔Ai=Aj∧Bi=Bj(Ai,Bi)=(Aj,Bj)⇔Ai=Aj∧Bi=Bj(A_i, B_i) = (A_j, B_j) \Leftrightarrow A_i = A_j \land B_i = B_j 次の操作をペアに適用できますSwap(pair)。ペアの要素を交換するため、はになります(10,50)(10,50)(10, 50)(50,10)(50,10)(50, 10) セット内のペアがスワップされると、セットは自動的に再度ソートされます（スワップされたペアは適切ではなく、セット内の所定の場所に移動されます）。 問題は、あるペアで開始され、次の条件でセット全体をスワップするシーケンスがあるかどうかを確認することにあります。 ペアを交換した後、交換する次のペアは、セット内の後続または先行のペアでなければなりません。 この問題の多項式時間解を見つけるか、NP完全問題をそれに還元することは素晴らしいことです。 注： すでに決定の問題です。シーケンスが何であるかを知りたくない：シーケンスが存在する場合のみ。 ペアを交換した後のセットのソート方法の例 (6, …
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国際ドラフトを正しくプレイするのはNP困難ですか？
次の問題はNP困難ですか？ 国際ドラフト用のボード構成を考えると、1つの法的動きを見つけてください。n×nn×nn\times n アメリカのチェッカー（別名英語のドラフト）に対応する問題は、多項式時間で簡単に解決できます。これら2つのゲームには3つの大きな違いがあります。n×nn×nn\times n 最初の最も重要な違いは、「フライングキング」ルールです。チェッカーでは、キングは隣接する敵の駒を飛び越えて、2段離れた空の正方形に斜め方向にジャンプすることができます。国際的なドラフトでは、王は対角線に沿って任意の距離を移動することにより、相手の駒を任意の距離だけ飛び越えることができます。 チェッカーのように、同じピースを使用して、1ターンで一連のピースをキャプチャできます。ただし、チェッカーとは異なり、国際ドラフトでキャプチャされたピースは、シーケンス全体が終了するまで削除されません。捕獲駒は同じ空の広場に複数回飛び越えたり、着地したりできますが、敵の駒を複数回飛び越えてはなりません。 最後に、チェッカーと国際ドラフトの両方には、強制キャプチャルールがあります。対戦相手の駒をキャプチャできる場合は、必須です。ただし、複数のオプションが複数ある場合、ルールは一致しません。チェッカーでは、キャプチャの最大シーケンスを選択できます。つまり、キャプチャピースがキャプチャできなくなったときに終了するキャプチャシーケンスを選択できます。国際的なドラフトでは、最長のキャプチャシーケンスを選択する必要があります。したがって、私の問題は次と同等です。 国際ドラフト用のボード構成が与えられた場合、反対側のピースの最大数をキャプチャする動きを見つけます。n×nn×nn\times n 次の問題がNP完全であることを証明すれば十分です。（明らかにNPにあります。） キングのみを含む国際ドラフト用のボード構成を考えると、1人のプレイヤーが1ターンですべての対戦相手のピースをキャプチャできますか？n×nn×nn\times n 対応するチェッカーの問題は、多項式時間で答えることができます。これは楽しい宿題です。この問題は、デメイン、デメイン、およびエプスタインによるPhutballのエンドゲームの分析により似ています。楽しい宿題の練習の解答は、彼らの論文の最後にあります。解決策は、FrankelらによるFOCS 1978の論文にも記載されています。これは、チェッカーを最適にプレイすることがPSPACEに困難であることを証明しています。チェッカーが実際にEXPTIME完了であるというRobsonの1984年の証拠も参照してください。
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有界カーディナリティ有界周波数セットカバー：近似の硬さ
次の制限がある最小セットカバー問題を考慮してください。各セットには最大で要素が含まれ、ユニバースの各要素は最大で個のセットで発生します。fkkkfff 例：およびは、最大次数4のグラフの最小頂点被覆問題と同等です。f = 2k = 4k=4k = 4f= 2f=2f = 2 ましょう見つけるように最大値であるパラメータと最小セットのカバー問題の-approximationおよび NP困難です。a （k 、f ）k fa （k 、f）&gt; 1a(k,f)&gt;1a(k,f) > 1a （k 、f）a(k,f)a(k,f)kkkfff 例：（Berman＆Karpinski 1999）。（4 、2 ）≥ 1.0128a(4,2)≥1.0128a(4,2) \ge 1.0128 質問：既知の最強の下限を要約したリファレンスはありますか？特に、と両方が小さいがの場合の具体的な値に興味があります。k f f &gt; 2a （k 、f）a(k,f)a(k,f)kkkffff&gt; 2f&gt;2f > 2 セットカバー問題の制限付きバージョンは、多くの場合、削減に便利です。通常、と値の選択にはある程度の自由度があり、詳細情報は、最も強い硬度結果を提供する適切な値を選択するのに役立ちます。参考資料ここでは、ここでは、とここで開始点を提供していますが、情報がやや時代遅れと断片的です。より完全で最新のソースがあるかどうか疑問に思っていましたか？f a （k 、f ）kkkfffa （k 、f）a(k,f)a(k,f)
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すべての順列を有する配列を認識するサブシーケンスとして
いずれかのために、Iは、配列と言うの整数のである -completeすべての順列のための、場合の、ペアワイズ異なる整数のシーケンスとして書き込ま、配列のサブシーケンスであるが存在し、すなわち、その結果、全てについて。S { 1 、... 、N } N P { 1 、... 、N } 、P 1、... 、P N P S 1 ≤ I 1 &lt; I 2 &lt; ⋯ &lt; I N ≤ | s | sは、I 、J = P jを 1 ≤ J ≤ Nn &gt; 0n&gt;0n > 0sss{ …
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3次グラフ上のエッジ分割問題
次の問題の複雑さは研究されていますか？ 入力：次（または3正則）グラフG = （V 、E ）、自然な上限t333G = （V、E）G=(V,E)G=(V,E)ttt 質問：のパーティションがあるには| E | / 3サイズの部分3（nonnecessarily接続された）対応する部分グラフの注文の合計が最大であるように、T？EEE| E| / 3|E|/3|E|/3333ttt 関連作業 3つのエッジを含むいくつかのグラフへのパーティション の存在に必要な条件および/または十分な条件を証明する論文をかなり見つけました。上記（例えば、パーティションが同型サブグラフ得なければならない又はP 4、およびNO量を特定のパーティションに関連付けられていない）が、それらのいずれも上記問題に正確に対処しません。K1 、3K1,3K_{1,3}P4P4P_4 ここにすべてのそれらの論文をリストするのは少し退屈ですが、それらのほとんどは引用するか、DorとTarsiによって引用されています。 20101024：Goldschmidtらによるこの論文を見つけました。は、誘導されたサブグラフの次数の合計が最大でtになるようにグラフをAT MOST エッジを含む部分に分割するエッジの問題が、k = 3であってもNP完全であることを証明します。厳密な等式wrt kが必要な場合、問題が3次グラフでNP完全なままであることは明らかですか？kkktttk=3k=3k=3kkk 追加情報 失敗したいくつかの戦略を試しました。より正確には、次のことを証明する反例が見つかりました。 三角形の数を最大化しても、最適な解決策にはなりません。三角形は、3つのエッジ上のすべての可能なグラフの中で最も低い順序のサブグラフであるため、なんとなく直観に反しています。 グラフを接続されたコンポーネントに分割しても、必ずしも最適なソリューションになるとは限りません。有望と思われた理由はそれほど明白ではないかもしれませんが、多くの場合、特定のサブグラフを接続するためにエッジを交換すると、重みが小さいソリューションにつながることがわかります（例：それぞれに接続された1つの追加エッジを持つ三角形でそれを試してください頂点;三角形は1つの部分で、残りは2番目で、総重量は3 + 6 = 9です。2つのエッジを交換すると、パスと星ができ、総重量は4 + 4 = 8です。）
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SATのユニークなソリューションの検証
次の問題を考えてみましょう。CNF式とこの式を満たす割り当てが与えられた場合、この式に別の満足できる割り当てがありますか？ この問題の複雑さは何ですか？（それは間違いなくNPにありますが、NPハードでもありますか？） 割り当てが与えられておらず、数式に一意の満足できる割り当てがあるかどうかを判断したい場合はどうなりますか？ ありがとう。
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近似の硬さ-加算誤差
豊富な文献と、乗法誤差のコンテキストでのNP困難問題の既知の近似硬さの結果を示す非常に良い本が少なくとも1つあります（たとえば、UGCを想定した頂点カバーの2近似が最適です）。これには、APX、PTASなどのよく理解されている近似複雑度クラスも含まれます。 相加誤差を考慮する場合に知られていることは何ですか？文献検索では、いくつかの上限タイプの結果が示されますが、最も顕著なのはビンパッキング（たとえば、http：//www.cs.princeton.edu/courses/archive/spr03/cs594/dpw/lecture2.psを参照）です。より包括的な複雑さのクラス分類か、それがそれほど興味深くも関連性もない理由がありますか？ さらなるコメントとして、たとえば、ビンパッキングについては、最適な1から常に加算距離内にあるポリタイムアルゴリズムが見つからなかった理論的な理由がわからない限りはあります（私は修正されるべきです）。そのようなアルゴリズムは複雑さのクラスを崩壊させますか、または他の重要な理論上のノックオン効果をもたらしますか？ 編集：私が使用しなかったキーフレーズは、「漸近近似クラス」です（Oleksandrに感謝します）。この分野ではいくつかの作業があるようですが、古典的な近似クラスの理論と同じ成熟段階にはまだ達していません。
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