近似の硬さ-加算誤差

豊富な文献と、乗法誤差のコンテキストでのNP困難問題の既知の近似硬さの結果を示す非常に良い本が少なくとも1つあります（たとえば、UGCを想定した頂点カバーの2近似が最適です）。これには、APX、PTASなどのよく理解されている近似複雑度クラスも含まれます。

相加誤差を考慮する場合に知られていることは何ですか？文献検索では、いくつかの上限タイプの結果が示されますが、最も顕著なのはビンパッキング（たとえば、http：//www.cs.princeton.edu/courses/archive/spr03/cs594/dpw/lecture2.psを参照）です。より包括的な複雑さのクラス分類か、それがそれほど興味深くも関連性もない理由がありますか？

さらなるコメントとして、たとえば、ビンパッキングについては、最適な1から常に加算距離内にあるポリタイムアルゴリズムが見つからなかった理論的な理由がわからない限りはあります（私は修正されるべきです）。そのようなアルゴリズムは複雑さのクラスを崩壊させますか、または他の重要な理論上のノックオン効果をもたらしますか？

編集：私が使用しなかったキーフレーズは、「漸近近似クラス」です（Oleksandrに感謝します）。この分野ではいくつかの作業があるようですが、古典的な近似クラスの理論と同じ成熟段階にはまだ達していません。

質問はいくぶん無制限なので、完全に答えられるとは思いません。これは部分的な答えです。

簡単に観察できるのは、相加近似を考えると多くの問題が面白くないということです。たとえば、伝統的にMax-3SAT問題の目的関数は、満たされた節の数です。この定式化では、O（1）加法誤差内でMax-3SATを近似することは、単に入力関数を何度もコピーすることで目的関数をスケーリングできるため、Max-3SATを正確に解くことと同等です。乗法近似は、この種の問題にとってはるかに重要です。

[編集：以前のリビジョンでは、前の段落の例として独立セットを使用していましたが、独立セットは乗法近似と加法近似の違いを示す良い例ではないため、Max-3SATに変更しました。O（1）乗法因子内であっても独立セットを近似することもNP困難です。実際、独立集合の非常に強力な非近似性がHåstad[Has99]によって示されています。]

しかし、あなたが言ったように、加算近似は目的関数をスケーリングできないビンパッキングのような問題にとって興味深いものです。さらに、多くの場合、加法近似が興味深いものになるように問題を再定式化できます。

たとえば、Max-3SATの目的関数が、満たされた節の数と節の総数の比として定義される場合（時々行われます）、相加近似が興味深いものになります。この設定では、最適値は常に最大1であるため、乗法因子1- ε（0 < ε <1）内の近似性は加法誤差ε内の近似性を意味するという意味で、加法近似は乗法近似より難しくありません。

興味深い事実（残念ながらしばしば見落とされているようです）は、多くの近似不可能な結果が特定のギャップ問題の NP完全性を証明することですこれは、乗法近似の単なるNP困難性には従いません（Petrank [Pet94]およびGoldreich [Gol05、Section 3]も参照）。Max-3SATの例を続けると、Håstad[Has01]によるよく知られた結果は、Max-3SATを7/8よりも一定の乗算係数内で近似することはNP困難であることです。この結果だけでは、あるしきい値を超える一定の加法誤差内でMax-3SATの比率バージョンを近似することはNP困難であることを意味するようには見えません。ただし、Håstad[Has01]が証明していることは、単なる乗法的な近似不可能性よりも強力です。彼は、次の約束問題がすべての定数7/8 < s <1 に対してNP完全であることを証明しています。

Gap-3SAT _の
インスタンス：各句に3つの異なる変数が含まれるCNF式φ。
はい-約束：φは充足可能です。
約束なし：真の代入は、φの節のs部分以上を満たしません。

このことから、1/3以上の加算誤差内でMax-3SATの比率バージョンを近似することはNP困難であると結論付けることができます。一方、通常の単純なランダム割り当てでは、加法誤差1/8以内の近似が得られます。したがって、Håstad[Has01]による結果は、この問題に対する最適な乗法的不近似性だけでなく、最適な加法的不近似性も与えます。私は、このような多くの相加的な非近似性の結果があり、それらは文献には明示的に現れていないと思います。

参照資料

[Gol05] Oded Goldreich。約束の問題について（シモン・イーブン[1935-2004]を記念した調査）。 計算の複雑さに関する電子コロキウム、報告書TR05-018、2005年2月。http： //eccc.hpi-web.de/report/2005/018/

[Has99] JohanHåstad。クリークはn ^{1− ε}内で近似するのが困難です。 Acta Mathematica、182（1）：105–142、1999年3月。http：//www.springerlink.com/content/m68h3576646ll648/

[Has01] JohanHåstad。いくつかの最適な近似不可能な結果。 ACMのジャーナル、48（4）：798から859、2001年7月 http://doi.acm.org/10.1145/502090.502098

[Pet94]エレス・ペトランク。近似の硬さ：ギャップの場所。 計算複雑、4（2）：133から157、1994年4月 http://dx.doi.org/10.1007/BF01202286

これは部分的な答えです

$ABS$$ABS$

$NP$

-すべての立方体グラフィックスは、多項式時間でエッジ4色付け可能ですが、エッジ3色付けはNP困難です。

、最大独立集合問題ははありません$ABS$$P=NP$

漸近近似クラスと古典的な対応クラスとの比較に関する最近の研究があります。

エリック・ヤン・ヴァン・レーベンとヤン・ヴァン・レーベン。多項式時間近似の構造。テクニカルレポートUU-CS-2009-034。2009年12月。