国際ドラフトを正しくプレイするのはNP困難ですか？

次の問題はNP困難ですか？

国際ドラフト用のボード構成を考えると、1つの法的動きを見つけてください。$n\times n$

アメリカのチェッカー（別名英語のドラフト）に対応する問題は、多項式時間で簡単に解決できます。これら2つのゲームには3つの大きな違いがあります。$n\times n$

最初の最も重要な違いは、「フライングキング」ルールです。チェッカーでは、キングは隣接する敵の駒を飛び越えて、2段離れた空の正方形に斜め方向にジャンプすることができます。国際的なドラフトでは、王は対角線に沿って任意の距離を移動することにより、相手の駒を任意の距離だけ飛び越えることができます。

チェッカーのように、同じピースを使用して、1ターンで一連のピースをキャプチャできます。ただし、チェッカーとは異なり、国際ドラフトでキャプチャされたピースは、シーケンス全体が終了するまで削除されません。捕獲駒は同じ空の広場に複数回飛び越えたり、着地したりできますが、敵の駒を複数回飛び越えてはなりません。

最後に、チェッカーと国際ドラフトの両方には、強制キャプチャルールがあります。対戦相手の駒をキャプチャできる場合は、必須です。ただし、複数のオプションが複数ある場合、ルールは一致しません。チェッカーでは、キャプチャの最大シーケンスを選択できます。つまり、キャプチャピースがキャプチャできなくなったときに終了するキャプチャシーケンスを選択できます。国際的なドラフトでは、最長のキャプチャシーケンスを選択する必要があります。したがって、私の問題は次と同等です。

国際ドラフト用のボード構成が与えられた場合、反対側のピースの最大数をキャプチャする動きを見つけます。$n\times n$

次の問題がNP完全であることを証明すれば十分です。（明らかにNPにあります。）

キングのみを含む国際ドラフト用のボード構成を考えると、1人のプレイヤーが1ターンですべての対戦相手のピースをキャプチャできますか？$n\times n$

対応するチェッカーの問題は、多項式時間で答えることができます。これは楽しい宿題です。この問題は、デメイン、デメイン、およびエプスタインによるPhutballのエンドゲームの分析により似ています。楽しい宿題の練習の解答は、彼らの論文の最後にあります。解決策は、FrankelらによるFOCS 1978の論文にも記載されています。これは、チェッカーを最適にプレイすることがPSPACEに困難であることを証明しています。チェッカーが実際にEXPTIME完了であるというRobsonの1984年の証拠も参照してください。

OK、これが削減です。結局のところ、平面性は必要ないことがわかります。また、「合法的な移動を見つける」ために、私は決定の質問を「移動Xは合法ですか？」

まず、ピースが斜めではなく直交して動くゲームで代わりに作業しましょう。このゲームは、使用しないエッジプロパティを除き、同等です（45度回転したドラフトボードを見るだけです）。マージ/スプリットとクロスオーバーの2つのガジェットを使用します。http://www.hearn.to/draughts.pdfを参照してください。移動するボード上に1人のホワイトキングがいると仮定します。（他のピースは、かなりの数のピースをキャプチャできません。）指定された廊下を移動し、途中で黒いピースをキャプチャします。

まず、マージ：キングがN個のパスAのいずれかに入る場合（黒い部分をキャプチャすることにより、表示されていません）、Bから出ることができます。任意のパスAに沿って終了できます（再び、外部の黒い部分をキャプチャします）。これは使い捨てのガジェットです（出口の黒い部分は1回しかキャプチャできないため）。

第二に、クロスオーバー。キングがA（C）経由で入場すると、B（D）で出場できます。途中で停止してルートを変更することはできません。これは、キャプチャされない移動セグメントになるためです。

次に、有向グラフを指定して、対応するゲーム構成を次のように構築します。各頂点について、スプリットにフィードするマージを構築します。分割出力を、必要に応じてクロスオーバーを使用して、既存のエッジが接続する頂点に対応する頂点ガジェットのマージ入力（マージ+分割）にルーティングします。頂点への追加入力でキングを開始します（キャプチャする黒い部分を使用して、頂点に入力できるようにします）。

最後に、必要に応じて出力/入力経路に沿って余分な黒い部分を追加することにより、すべての「エッジの長さ」を均等化します。Vの頂点があり、各エッジにk個の黒い部分がある場合、キングは、対応するグラフのハミルトニアン回路がある場合にのみ、2V + kV + 1個の部分をキャプチャできます。キングに代替ムーブが用意されていて、2V + kVピースの単純なチェーンをキャプチャし、その代替ムーブが正当かどうかを判断するのはNP完全です。

これは、ボブの削減の可能な代替案で、今回は（無向）ハミルトニアンサイクルからのものです。 詳細が正しいことを100％確信しているわけではありません。すでにいくつかの問題を見つけて修正していますが、正しい証拠に修正できると確信しています。 ボブが指摘するように、この削減には重大なバグがあります。ホワイトキングは、ボードを通る正規の経路から簡単に外れることがあります。このバグは、Bobのクロスオーバーガジェットを適切な場所に追加することで修正できます（と思います）が、その後、Bobの縮小とは大きく変わりません。

$G$$n$$m$$G$$-1$

$O(n^2)\times O(n^2)$$O(n^2+m)$$k$$k$$hn$$h$

$k$$k$$k$$(i,j)$$i$$j$$x$$y$

$hn^2+4n$$G$

さて、私が論文を執筆しているときに、なぜこの問題を起こさないのですか？

わかりました、平面方向のハミルトニアンサイクルからの減少があります。