「本当に難しい問題はどこにあるのか」が持続しましたか？このテーマに関する現在のアイデアは何ですか？

この論文は非常に興味深いことがわかりました。要約すると、実際にNP完全問題の最悪の場合を見つけることがめったにない理由について説明します。この記事のアイデアは、インスタンスは通常、非常に過少または過大に制約されており、どちらも比較的簡単に解決できるということです。次に、いくつかの問題に対して「制約」の尺度を提案します。これらの問題には、解の可能性が0から100％の可能性への「フェーズ遷移」があるようです。次に、仮説を立てます。

1. すべてのNP完全（またはすべてのNP問題）問題には「制約」の尺度があること。
2. NP完全問題ごとに、「制約」の関数として存在する解の確率のグラフを作成できます。さらに、そのグラフには、その確率が急速かつ劇的に増加する相転移が含まれます。
3. NP完全問題の最悪の例は、その相転移にあります。
4. あるNP完全問題から別のNP完全問題への変換では、その相転移に問題があるかどうかは不変のままです。

この論文は1991年に発行されました。私の質問は、過去25年間にこれらのアイデアに関するフォローアップ研究があったかどうかです。もしそうなら、それらについての現在の主流の考え方は何ですか？彼らは正しい、間違っている、無関係であるとわかりましたか？

以下は、有限およびアルゴリズムモデル理論に関するワークショップ（2012年）でVardiが行ったプレゼンテーションに基づいたステータスの概要です。

硬いインスタンスは、過小制約領域から過大制約領域への相転移にあることが観察されました。基本的な推測は、相転移とNP問題の計算の複雑さの間には強いつながりがあるということです。

$P \ne NP$$P$

現在の主流の考え方は、（Vardiが述べているように）相転移は本質的に計算の複雑さに関連していないようです。

最後に、これはNatureに公開された記事で、K-SATの相転移と計算の硬さとの関係を調査しています。

はい、チーズマン、カネフスキー、テイラーの1991年の論文以来、多くの仕事がありました。

NP完全問題の相転移のレビューを検索すると、多くの結果が得られます。そのようなレビューの1つがHartmann and Weigt [1]です。より高いレベルの導入については、Brian Hayes American Scientistの記事[2] [3]を参照してください。

Cheesemen、Kanefsky、Taylorの1991年の論文は、数学の文献に注意を払っていないコンピューター科学者の不幸な事例です。Cheeseman、Kanefsky、Taylorの論文では、ハミルトニアンサイクルが、臨界しきい値に近い検索コストの上昇を伴う相転移を持っていると特定しました。彼らが使用したランダムグラフモデルは、Erdos-Renyiランダムグラフ（固定エッジ確率または同等のガウス度分布）でした。このケースは、Cheeseman et alの1991年の論文の前に、このクラスのグラフの既知のほぼ確実な多項式時間アルゴリズムで、臨界しきい値またはその近くであってもよく研究されました。Bollobasの「Random Graphs」[4]は参考になります。私が信じる元の証拠は、AngliunとValiant [5]によって提示され、Bollobas、FennerおよびFrieze [6]によってさらに改善されました。チーズマンの後、

ランダムErdos-Renyiランダムグラフのハミルトニアンサイクルの相転移は、解を見つける確率の急激な変化があるという意味で存在しますが、これは、ハミルトニアンサイクルを見つける「本質的な」複雑性の増加にはなりません。理論的にも実際的にも、臨界遷移時でさえ、エルドス-レニイランダムグラフでハミルトニアンサイクルを見つけるためのほぼ確実な多項式時間アルゴリズムがあります。

調査の伝播[8]は、臨界しきい値に非常に近いランダム3-SATの充足可能なインスタンスを見つけることに成功しました。私の現在の知識は少しさびているので、クリティカルしきい値の近くの不満足なケースのための「効率的な」アルゴリズムを見つける大きな進展があったかどうかはわかりません。私が知る限り、3-SATは、満足で臨界しきい値に近い場合に「簡単に」解決できる場合の1つですが、臨界しきい値に近い不満足な場合には不明（または難しい？）です。

私の知識は少し古くなっていますが、この主題を最後に詳しく調べたとき、私には際立ったことがいくつかありました。

• ハミルトニアンサイクルは、Erdos-Renyiランダムグラフでは「簡単」です。難しい問題はどこにありますか？
• 番号パーティションは、ほぼ確実な確率0または1の領域では非常に遠いが、中程度のインスタンスサイズ（500ビットの1000の数字は、私が知る限り、最先端のアルゴリズム）。[9] [10]
• 3-SATは、巨大なインスタンスサイズ（数百万の変数）であっても、クリティカルしきい値に近い充足可能なインスタンスでは「簡単」ですが、クリティカルしきい値に近い不満足なインスタンスでは困難です。

ピアレビューされた論文を公開していないので、ここに含めることをheしますが、論文を書きました件名に。主なアイデアは、「本質的に難しい」ランダムアンサンブル（ハミルトニアンサイクル、数分割問題など）の可能なクラスは、「スケール不変性」プロパティを持つものであるということです。レビー安定分布は、この性質を持つより自然な分布の1つであり、べき法則の尾を持ち、何らかの方法でレビー安定分布を組み込んだNP-Completeアンサンブルからランダムインスタンスを選択できます。正規分布ではなくレビー安定度分布（つまり、Erdos-Renyi）でランダムグラフを選択した場合、本質的に困難なハミルトニアンサイクルインスタンスが見つかるという弱い証拠を示しました。それ以外の場合は、少なくともいくつかの文献レビューの出発点を提供します。

[1] AK HartmannおよびM. Weigt。組み合わせ最適化問題の相転移：基本、アルゴリズム、統計力学。Wiley-VCH、2005年。

[2] B.ヘイズ。最も簡単な難しい問題。アメリカの科学者、90（2）、2002。

[3] B.ヘイズ。しきい値について。アメリカの科学者、91（1）、2003。

[4] B.ボロバース。ランダムグラフ、第2版。ケンブリッジ大学出版局、ニューヨーク、2001年。

[5] D.アングルインとLGヴァリアント。ハミルトン回路とマッチングの高速確率アルゴリズム。J.コンピューター、システム。Sci。、18：155–193、1979

[6] B.Bollobás、TI Fenner、およびAM Frieze。ランダムグラフでハミルトンのパスとサイクルを見つけるためのアルゴリズム。Combinatorica、7：327–341、1987

[7] B.ヴァンデグリエンドとJ.カルバーソン。G n、m相転移は、ハミルトニアンサイクル問題にとって難しくありません。J. of AI Research、9：219–245、1998。

[8] A.ブラウンスタイン、M。メザール、R。ゼッキナ。調査の伝播：充足可能性のアルゴリズム。ランダム構造とアルゴリズム、27：201–226、2005。

[9] I.ゲントとT.ウォルシュ。番号分割のヒューリスティック分析。計算知能、14：430–451、1998。

[10] CP SchnorrおよびM. Euchner。ラティス基底の削減：実用的なアルゴリズムの改善とサブセット合計問題の解決。Proceedings of Fundamentals of Computation Theory '91、L. Budach、ed。、Lecture Notes in Computer Science、volume 529、pages 68–85、1991。

25年間の研究、および現在のアイデアはどこですか：

+++アイデア1：

充足可能性の解決の経験では、解決しようとしている式に有効なk句を追加することは、（nk）変数qbfを決定することに似ていることを実際に発見しました。

これは、NPの現在のsat解法がpspace困難であることを示すためのアプローチのようです！

+++アイデア2：

別の考えは、AllQBFs問題はブール階層の実際の問題であるということです。AllQBFsの問題は次のとおりです。式Rのすべての2 ^ n qbfsを決定するブール式Qを生成します。元の式Rが単調または2-cnfの場合、AllQBFsは簡単です。

Qは指数関数であることが多いため、QBFがExpであることを示すもっともらしい道のように思えます。そのため、Qの割り当て（元の式Rの定量化）の評価は指数関数です。したがって、NPを証明する道はExpであり、少なくともいくつかのブロックが含まれています。

+++アイデア3：通常のk-cnfs

ところで、すべての相転移研究は、次数正規グラフと同様に、変数の発生数（どちらの方向でも）が固定されている正規k-cnfsを見逃しています...正規k-cnfsは標準モデルよりもはるかに難しくなります。すべての変数は、それらの制約に関して同一に見えるためです。

25年前、チーズマンを読んだ直後に、すべての変数が同じように見えるため、次数の規則的なグラフの色付けに焦点を当てました。そこで、ここで回答の特権を悪用し、25年間の結果を通常のグラフで提示します。

+++アイデア4：充足可能性ベンチマーク研究のゴールデンポイント

私はD正則N頂点グラフのCカラーリングを非常に広範囲にわたって研究しました。次の表は、通常のグラフの色分けに関するゴールデンポイントの結果をまとめたものです。

高確率では、N個のランダムインスタンスが充足可能です。非常に高い場合、N ^ 2は満足のいくものでした。超高の場合、N ^ 3のランダムインスタンスが満足できました。

高確率（1-1 / N）ゴールデンカラーポイントは次のとおりです。

C3D5N180 C4D6N18 C4D7N35 C4D8N60 C4D9N180？C5D10N25 C5D11N42 C5D12N72

非常に高い確率（1-1 /（N ^ 2））の黄金色のポイント：

C3D5N230？C4D6N18 C4D7N36 C4D8N68 C4D9N ??? C5D10N32 C5D11N50 C5D12N78

超高確率（1-1 /（N ^ 3））の黄金色のポイントは次のとおりです。

C3D5N ??? C4D6N22 C4D7N58 C4D8N72？C4D9N ??? C5D10N38 C5D11N58 C5D12N ??

C4D9エントリは、9度グラフの4つの色分けを示します。これらは、私が25年の土の解決で遭遇した最も難しいランダムな4cnfsです。最近、10日間のCPU時間の後、172頂点の9度グラフに色を付けました。

+++アイデア5：C5D16N ???? ゴールデンポイントはわずかに存在すると推測されています。

ありがとう、ダニエル・ペホウシェク