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私はいくつかのシステムの一部を実装していますが、その一部には何らかの助けが必要です。したがって、それをグラフの問題としてフレーミングして、ドメインに依存しないようにします。 問題：有向非巡回グラフが与えられます。一般性を失うことなく、は1つのソース頂点と1つのシンク頂点があると仮定します。せからすべて有向パス集合示すににおける。頂点のセットも与えられます。問題は、非負の整数の重みをのエッジに割り当てることです。したがって、 2つのパスは、の頂点の同じサブセットを含む場合にのみ同じ重みを持ちます。G S T P S T G R ⊆ V G P RG = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)GGGssstttPPPssstttGGGR ⊆ VR⊆VR \subseteq VGGGPPPRRR。（パスの重みは、そのエッジの重みの合計です。）のパスの重みの範囲はできるだけ小さくする必要があります。PPP 現在、私のアプローチは効率的ではないようです。文学への言及や良い洞察を探しています。それ以外のことも歓迎します。 編集：この問題の硬度の証拠はありますか？コンパクトな番号は常に存在しますか？

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Gをnノード無向グラフとし、Tをterminalsと呼ばれるV（G）のノードサブセットとします。距離浮き袋（G、T）のプロパティを満たすグラフHであります dH（u 、v ）= dG（u 、v ）dH（あなたは、v）=dG（あなたは、v）d_H(u,v) = d_G(u,v) Tのすべてのノードu、vについて（Hは必ずしもGのサブグラフではないことに注意してください） たとえば、Gを次のグラフ（a）、Tを外面のノードとします。グラフ（b）は（G、T）の距離保存です。 さまざまなパラメータを持つ距離保存機能が存在することが知られています。私は特に次の特性を持つものに興味があります： Gは平面であり、重みがありません（つまり、Gのすべてのエッジに重み1があります）。 TのサイズはO （n0.5）O（n0.5）O(n^{0.5})であり、 Hにはサイズ（ノードとエッジの数）o （n ）o（n）o(n)ます。（O （nログログn）O（nログ⁡ログ⁡n）O(\frac{n}{\log\log n})。） そのような距離保存は存在しますか？ 上記の特性を満たすことができない場合は、あらゆる種類のリラクゼーションを歓迎します。 参照： スパースソースワイズおよびペアワイズ距離プリサーバー、Don CoppersmithおよびMichael Elkin、SIDMA、2006年。 Sparse Distance Preservers and Additive Spanners、BélaBollobás、Don Coppersmith、Michael Elkin、SIDMA、2005年 サブリニア距離誤差を伴うスパナおよびエミュレータ、Mikkel ThorupおよびUri Zwick、SODA、2006年。 アディティブスパナ、エミュレータなどの下限、デビッドP.ウッドラフ、FOCS、2006年。 距離保存器はエミュレーターとしても知られています。多くの関連する仕事は、スパナという用語を検索することでインターネット上で見つけることができます。これは、HがGの部分グラフである必要があります。しかし、HがGのT

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ハンガリーのアルゴリズムは、多項式時間で最大重みの二部マッチング問題を解決する組み合わせ最適化アルゴリズムであり、重要な主双対法の今後の開発が予想されます。このアルゴリズムは、1955年にHarold Kuhnによって開発および公開されました。このアルゴリズムは、2人のハンガリーの数学者であるDénesK andnigとJenőEgerváryの初期の作品に基づいているため、「Hungarian algorithm」と名付けられました。Munkresは1957年にアルゴリズムをレビューし、実際にポリタイムであることを観察しました。それ以来、このアルゴリズムはKuhn-Munkresアルゴリズムとしても知られています。 ハンガリー語には基本双対法の基本概念が含まれていますが、線形プログラミング（LP）機構を使用せずに、最大重量の2部マッチング問題を直接解決します。したがって、次の質問に答えて、ユッカ・スオメラはコメントしました もちろん、汎用LPソルバーを使用して任意のLPを解くことができますが、通常、特殊なアルゴリズムははるかに優れたパフォーマンスを発揮します。[...]正確な有理数と浮動小数点数の使用などの問題を回避することもできます。すべては整数で簡単に行えます。 言い換えれば、LPソルバーから有理数/浮動小数点の解を丸めて、特定の2部グラフの最大重み完全一致を取得する方法を心配する必要はありません。 私の質問は次のとおりです。 元のハンガリーのアルゴリズムの精神と同様に、LP機械を使用せずに一般的な無向グラフで機能するハンガリーのアルゴリズムの一般化はありますか？ オリジナルの複雑な紙ではなく、現代的で読みやすい説明を好むでしょう。しかし、どんなポインターでも大歓迎です！ 事前に感謝し、メリークリスマス!!! 更新：この質問には、以下のArmanが適切に回答しています。Edmondsのブロッサムアルゴリズム（重み付きの場合）を研究するためのもう1つの優れた情報源は、KorteとVygenによるCombinatorial Optimizationの第11章 です。Googleブックには、アルゴリズムを理解するために必要なほぼすべての部分が実際に示されています。

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Kargerのmincutアルゴリズムを使用して、グラフが持つことができる可能性のあるmincutの最大数が(n2)(n2)n \choose 2。 私は、ミニカットのセットから全単射（むしろ単射）証明を別のカーディナリティ。特別な理由はありませんが、それは単なる好奇心です。自分でやってみましたが、今のところ成功していません。私は誰もこれについて時間を浪費したくないので、質問が無意味であると思われる場合、私はモデレーターにそれに応じた行動を取るよう要求します。(n2)(n2)n \choose 2 ベスト-Akash

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オーマー・レインゴールドの証拠その（でUSTCONのアルゴリズムを与えるU特別な頂点を持つグラフをndirectedと、それらはコンのみログ・スペースを使用してnected？）。基本的な考え方は、元のグラフからエキスパンダーグラフを作成し、エキスパンダーグラフ内をウォークすることです。拡張グラフは、元のグラフを対数的に何回も二乗することによって作成されます。エキスパンダーグラフでは、直径は対数のみであるため、対数深度のDFS検索で十分です。L=SLL=SLL=SLsssttt 結果を拡張すると、DSTCONのログスペースアルゴリズムが存在することを意味します。これは、Dグラフの場合と同じですが。（時にはSTCONだけかもしれません。）私の質問は、たぶんやや柔らかいですが、それに対してReingoldの証明を拡張する主な障害は何ですか？L=NLL=NLL=NL 一種の「有向エキスパンダー」グラフがあるはずです。同様の種類の構造。中程度の長さの有向パスに対応するエッジを追加し、次に長いパスに対応するエッジを追加します。そして、短いパスを移動して長いパスに到達することにより、対数の深さでグラフをトラバースできます。その後、最後に短いパスに戻ります。 この概念に大きな欠陥はありますか？それとも、そのようなエキスパンダーの良い構造がないのですか？それとも、無向バージョンよりも多くのメモリを必要としますか？ 残念ながら、有向エキスパンダーグラフではまったく見つけられません。実際、本質的に私が見つけられたのは/math/2628930/how-can-one-construct-a-directed-expander-graph-with-varying-degree-distribution（未回答）でした。およびhttps://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1202&context=cis_papers。別の用語で検索する必要がありますか？

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各頂点に関連付けられた数値（）とターゲット数値有向非巡回グラフが与えられます。G ：V → N T ∈ NG = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)g：V→ Ng：V→Ng:V\to \mathbb{N}T∈ NT∈NT\in \mathbb{N} DAGサブセット和問題（別の名前で存在する可能性があり、参照が素晴らしい）は頂点が存在するかどうかを尋ねたとえば、およびはパスです。ΣのV I G （V 、I）= T V 1 → 。。→ v k Gv1、v2、。。。、vkv1、v2、。。。、vkv_1,v_2,...,v_kΣv私g（v私）= TΣv私g（v私）=T\Sigma_{v_i}g(v_i) = Tv1→ 。。→ vkv1→。。→vkv_1\to..\to v_kGGG 完全な推移的グラフは古典的なサブセット和問題を生成するため、この問題は簡単にNP完全です。 DAGサブセット和問題の近似アルゴリズムは、次の特性を持つアルゴリズムです。 合計Tのパスが存在する場合、アルゴリズムはTRUEを返します。 何らかのに対してと間の数までの合計パスがない場合、アルゴリズムはFALSEを返します。T C ∈ （0 、1 ）（1 − c ）T（1−c）T(1 − c)TTTTC ∈ （0 、1 ）c∈（0、1）c\in …

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次の問題を考慮してください。 入力：無向グラフ。 出力：Aグラフのマイナーであるのすべての未成年者の中で最も高いエッジ密度を有する、すなわち、最も高い比。G = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)HHHGGGGGG|E（H）| / |V（H）||E（H）|/|V（H）||E(H)|/|V(H)| この問題は研究されましたか？多項式時間で解けるのか、それともNP困難なのか？未成年者が除外されたクラスのような制限されたグラフクラスを考慮するとどうなりますか？ 代わりに最も密な部分グラフを要求すると、問題は多項式時間で解くことができます。追加のパラメータを追加し、個の頂点を持つ最も密な部分グラフを要求する場合、問題はNP完全です（これは -clique から簡単に削減できます）。kkkkkkkkk

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私の友人の一人が、ツリーに関する次のスケジューリングの問題を私に尋ねました。とてもきれいで面白いと思います。それについての参照はありますか？ 問題： ツリー、各エッジには1の対称移動コストがあります。各頂点v iに対して、期限d iの前に実行する必要があるタスクがあります。タスクはv iとしても示されます。各タスクの均一値は1です。各タスクの処理時間は0です。つまり、期限が終了する前にタスクを訪問します。一般性を失うことなく、聞かせてV 0表しルートをとに位置タスクが存在しないと仮定すると、V 0は。v 0に車両がありますT(V,E)T(V,E)T(V,E)viviv_ididid_iviviv_iv0v0v_0v0v0v_0v0v0v_0ほかに時刻0で、我々はその前提と各頂点のためにdi≥depidi≥depid_i \ge dep_i、深さの略V I。これは自明であり、その深さがデッドラインよりも短い頂点は外れ値と見なされるべきです。問題は、できるだけ多くのタスクを完了するスケジューリングを見つけるように求めます。depidepidep_iviviv_i 進捗： ツリーがパスに制限されている場合、動的プログラミングを介してます。PP\mathsf{P} ツリーがグラフに一般化されている場合、完全になります。NPNP\mathsf{NP} 3因子近似と考えられている非常に単純な貪欲なアルゴリズムがあります。完全には証明していません。今、私はNP困難な結果にもっと興味があります。:-) 助言ありがとう。

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コードグラフのサブクラスである特定のグラフクラスにおける支配集合問題（DSP）の複雑さに興味があります。 グラフが無向ツリーのパスのファミリーの頂点交差グラフである場合、グラフは無向パスグラフです。UPを無向パスグラフのクラスにします。 グラフが無向ツリーのパスのファミリのエッジ交差グラフである場合、グラフはEPTグラフです。EPTグラフは和音ではないかもしれませんが、CEPTを和音EPTグラフのクラスにします。 グラフは、あるルート付き有向ツリー（つまり、すべてのアークがルートから離れる方向にある）の有向パスのファミリの頂点交差グラフである場合、（ルート付き）有向パスグラフです。RDPを（ルート化された）有向パスグラフのクラスにします。 我々はR D P⊆ CEPT⊆ UP⊆ C 、H 、O 、R 、Da lRDP⊆CEPT⊆うんP⊆chordalRDP\subseteq CEPT \subseteq UP\subseteq chordal DSPはRDPのグラフでは線形時間で解けるが、UPのグラフではNP完全であることが知られている[ Booth and Johnson、1981 ] 最大次数3の毛虫のような木の無向パスのファミリーの頂点交差グラフに対応する特別なグラフに興味があります。 1つの頂点が接続されています。このクラスをcat-UPと呼びましょう。 さらに、私の特別なグラフは、最大次数3の特定のツリーの無向パスのいくつかのファミリのエッジ交差グラフとして構築することもできます。 だから私の質問は： 1）cat-UPのグラフのDSPの複雑さはわかっていますか？（[ Booth and Johnson、1981 ] の削減により、最大次数3のホストツリーが生成されますが、毛虫からはかなり遠いことに注意してください） 2）CEPTのグラフのDSPの複雑さは？そして、最大次数3のホストツリーから生じるCEPTのグラフについては？（これはISGCIに知られていない） 3）密接に関連するグラフファミリのDSPに複雑な結果はありますか？

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アロンとスペンサーによる本「確率的方法」の第1章では、次の問題に言及しています。 グラフ与えられた場合、エッジの接続性が少なくともであるかどうかを決定します。GGGn/2n/2n/2 著者はMatulaによるアルゴリズムの存在に言及し、それを改良しました。O （N 8 / 3ログN ）O(n3)O(n3)O(n^3)O(n8/3logn)O(n8/3log⁡n)O(n^{8/3}\log n) 私の質問は、この問題の最もよく知られている実行時間は何ですか？ 改善されたアルゴリズムについて説明しましょう。 まず、最小次数が少なくともn / 2であるかどうかを決定します。そうでない場合、エッジの接続性は明らかにn / 2未満です。GGGn/2n/2n/2n/2n/2n/2 次に、そうでない場合、サイズO （log n ）のGの支配集合を計算します。これは、本の前のセクションで説明したアルゴリズムにより、時間O （n 2）で実行できます。UUUGGGO(logn)O(log⁡n)O(\log n)O(n2)O(n2)O(n^2) 次に、事実を証明するのにそれほど難しくない以下を使用します。 最小次数が場合、VをV 1とV 2に分割する最大δのサイズのエッジカットの場合、支配的なGのセットはV 1とV 2の両方に頂点を持たなければなりません。δδ\deltaδδ\deltaVVVV1V1V_1V2V2V_2GGGV1V1V_1V2V2V_2 次に、支配的な集合について考えます。以来、Gは、最小次数有するN / 2未満で、大きさの任意のエッジカットをN / 2も分離しなければならないUを。したがって毎I ∈ { 2 、K }、我々は分離最小エッジカットのサイズ検索U 1及びU Iを。これらのものは、それぞれの時間で行うことができますO （nは8 / 3U={u1,…,uk}U={u1,…,uk}U = \{u_1, \ldots , u_k\}GGGn/2n/2n/2n/2n/2n/2UUUi∈{2,k}i∈{2,k}i\in \{2, …

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グラフのパス幅を計算するアルゴリズムの実装を探しています。パス幅の計算は、ノード検索番号、頂点分離番号、またはグラフの間隔の厚さの計算と同等であることはよく知られています。アルゴリズムは非常に高速である必要はありません。最大20の頂点のグラフで実行したいです。アルゴリズムを使用して、近似を与えるのではなく、パス幅を正確に計算する必要があります。 グラフのツリー幅を計算するための実装（関連する概念）があることを認識していますが、パス幅を計算するための実装を見つけることができませんでした。どんなポインターでも大歓迎です！

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次の問題を考慮してください- 所与の最大平面グラフとG 2、検索グラフGの両方に（必ずしも誘導される）サブグラフが存在するように、エッジの最大数とG 1とG 2と同形であるG。G1G1G_1G2G2G_2GGGG1G1G_1G2G2G_2GGG これは多項式時間で実行できますか？はいの場合、どのように？ とG 2が一般的なグラフである場合、問題はNP完全であることが知られています（G 1がクリークになる可能性があるため）。また、G 1とG 2がツリー、または有界次数部分kツリーである場合、問題は多項式時間で解くことができることも知られています。では、最大の平面の場合はどうでしょうか？誰もこれを知っていますか？2つの最大平面グラフのグラフ同型は多項式です。おそらくこれは何らかの形で役立ちますか？G1G1G_1G2G2G_2G1G1G_1G1G1G_1G2G2G_2

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ツリー幅とパス幅は一般的なパラメータであり、それぞれツリーまたはパスへのグラフの近さを測定します。実際、ツリー幅は非常に人気があり、多くの論文、書籍、および講義ノートで取り上げられています。通常、これらのリソースは、NP困難問題（独立集合など）がツリー分解の動的計画法によって多項式時間でどのように解決されるかを説明します。 ただし、有界ツリー幅グラフと有界パス幅グラフの両方でグラフの問題がNP完全なままである場合があります。しかし、そのような硬さの結果は、非限定的に星の近さを測定する有界木の深さの硬さを意味しません。 ツリーの深さはツリー幅ほど広く知られていないと言ってもいいようです。ツリーの深さでパラメータ化するアルゴリズムの詳細を知りたい人のために、そのようなアルゴリズムが通常どのように機能するかを学習するために利用できるいくつかの素晴らしいリソースがありますか？

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各エッジの重みが負になる可能性のある有向巡回グラフを考えると、「最短経路」の概念は負のサイクルがない場合にのみ意味があり、その場合、Bellman-Fordアルゴリズムを適用できます。 ただし、サイクリングを伴わない2つの頂点間の最短パスを見つけることに興味があります（つまり、同じ頂点に2回アクセスできないという制約の下）。この問題はよく研究されていますか？Bellman-Fordアルゴリズムのバリアントを使用できますか？ また、同等のすべてのペアの問題にも興味があります。それ以外の場合は、Floyd–Warshallを適用します。

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それはかどうかは知られているフィードバック頂点集合有界度の無向平面グラフ上の問題である -hard？NPNP\mathsf{NP}

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