から

オーマー・レインゴールドの証拠その（でUSTCONのアルゴリズムを与えるU特別な頂点を持つグラフをndirectedと、それらはコンのみログ・スペースを使用してnected？）。基本的な考え方は、元のグラフからエキスパンダーグラフを作成し、エキスパンダーグラフ内をウォークすることです。拡張グラフは、元のグラフを対数的に何回も二乗することによって作成されます。エキスパンダーグラフでは、直径は対数のみであるため、対数深度のDFS検索で十分です。$L=SL$$s$$t$

結果を拡張すると、DSTCONのログスペースアルゴリズムが存在することを意味します。これは、Dグラフの場合と同じですが。（時にはSTCONだけかもしれません。）私の質問は、たぶんやや柔らかいですが、それに対してReingoldの証明を拡張する主な障害は何ですか？$L=NL$

一種の「有向エキスパンダー」グラフがあるはずです。同様の種類の構造。中程度の長さの有向パスに対応するエッジを追加し、次に長いパスに対応するエッジを追加します。そして、短いパスを移動して長いパスに到達することにより、対数の深さでグラフをトラバースできます。その後、最後に短いパスに戻ります。

この概念に大きな欠陥はありますか？それとも、そのようなエキスパンダーの良い構造がないのですか？それとも、無向バージョンよりも多くのメモリを必要としますか？

残念ながら、有向エキスパンダーグラフではまったく見つけられません。実際、本質的に私が見つけられたのは/math/2628930/how-can-one-construct-a-directed-expander-graph-with-varying-degree-distribution（未回答）でした。およびhttps://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1202&context=cis_papers。別の用語で検索する必要がありますか？

中心的な問題は、有向グラフで、真のランダムウォークでさえ、擬似ランダムウォークは言うまでもなく、予想される多項式時間のすべての頂点にヒットしないことです。ここでの標準的な反例は、左から右に順序付けられた個の頂点を持つ有向グラフです。各頂点には右端の頂点につながるエッジがあり（右端の頂点tを除く）、各頂点にはすべての頂点につながるエッジもあります左端の頂点sに戻ります。ランダムウォークでsからtに到達するには、約2 n時間かかります。それで、Reingoldがやったことに類似して、ランダム化を解除したい有向接続のための小空間ランダム化アルゴリズムは何ですか？$n$$t$$s$$s$$t$$2^n$？（別の言い方をすると、どのように我々は表示されない R L = N Lをおろか、 L = N L監督の接続のために？）、もちろんそこSavitchのアルゴリズムだが、それは取り O （ログ2 n個の）スペースを、および一般的なグラフのためにランダム性を使用して、または使用せずに半世紀にわたって改善することができた人はいません。$USTCON$$RL=NL$$L=NL$$O(\log^2 n)$