グラフが与えられたら、そのエッジ接続が少なくともn / 2であるかどうかを決定します

アロンとスペンサーによる本「確率的方法」の第1章では、次の問題に言及しています。

グラフ与えられた場合、エッジの接続性が少なくともであるかどうかを決定します。 $G$ $n/2$

著者はMatulaによるアルゴリズムの存在に言及し、それを改良しました。 $O(n^3)$ $O(n^{8/3}\log n)$

私の質問は、この問題の最もよく知られている実行時間は何ですか？

改善されたアルゴリズムについて説明しましょう。

まず、最小次数が少なくともであるかどうかを決定します。そうでない場合、エッジの接続性は明らかに未満です。 $G$ $n/2$ $n/2$

次に、そうでない場合、サイズ支配集合を計算し。これは、本の前のセクションで説明したアルゴリズムにより、時間で実行できます。 $U$ $G$ $O(\log n)$ $O(n^2)$

次に、事実を証明するのにそれほど難しくない以下を使用します。

最小次数が場合、をとに分割する最大のサイズのエッジカットの場合、支配的なセットはと両方に頂点を持たなければなりません。 $\delta$ $\delta$ $V$ $V_1$ $V_2$ $G$ $V_1$ $V_2$

次に、支配的な集合について考えます。以来、最小次数有する未満で、大きさの任意のエッジカットをも分離しなければならない。したがって毎、我々は分離最小エッジカットのサイズ検索及び。これらのものは、それぞれの時間で行うことができます $U = \{u_1, \ldots , u_k\}$ $G$ $n/2$ $n/2$ $U$ $i\in \{2, k\}$ $u_1$ $u_i$ max-flowアルゴリズムを使用します。従ってかかる合計時間は。 $O(n^{8/3})$ $O(n^{8/3}\log n)$

ds.algorithms open-problem graph-algorithms

— ビナヤック・パタク
ソース

ところで、もちろん、max-flowアルゴリズムの改善は、ここでも改善につながります。しかし、私は推測する

現在知られている最高の最大フローアルゴリズムのですか？

O (n^{8 / 3})

$O(n^{8/3})$

— ビナヤックパタック

たぶん私は何かを誤解していますが、カーガー-スタインはmincutアルゴリズムが時間を実行しているランダム化されていません

？

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— サショニコロフ

ある

期待される実行時間が？説明したアルゴリズムは完全に決定的です。

O (n^{2})

$O(n^2)$

— ビナヤックパタック

アルゴリズムは、モンテカルロである：それは常に時間で完了

と高い確率で最小カットを出力します。もちろん、故障の確率は実行時間に反比例します。申し訳ありませんが、引用がアロン-スペンサーであることを

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— 考える

決定論的なアルゴリズムを探しているなら、質問でそれを指定すべきだと思います。最小カットの

よりも優れた決定論的アルゴリズムを知りません（この実行時間を実現する簡単なアルゴリズムについては、Stoer-Wagnerを参照してください）。指定した問題に対して決定論的にどの程度改善できるかは興味深いことです（指数の8/3は、最適な範囲では不自然に見えますが、誰が知っているか）。

O (m n + n^{2} \log n)

$O(mn + n^2\log n)$

— サショニコロフ

$n/2$ $n/2$ $n/2$ $X$ $\bar X$ $x := |X| \leq n/2$ $X$ $x - 1$ $X$ $n/2 - (x - 1)$ $x (n/2 - x + 1)$ $x (n/2 - x + 1) \geq n/2$ , which is true since $(x - 1)(n/2 - x) \geq 0$ .

Strangely enough, the only reference I find to this result is this from a bioinformatics conference. I'd be really curious to see whether it has been proven somewhere else.

Edit: An earlier reference is: Gary Chartrand: A Graph-Theoretic Approach to a Communications Problem, SIAM J. Appl. Math. 14-4 (1966), pp. 778-781.

— Falk Hüffner
ソース