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ましょう共通の要素を有することができる集合とします。私は最小のセットを探していますXよう∀ I 、S1、S2、… 、SnS1、S2、…、SnS_1,S_2,\ldots,S_nバツバツX。∀ 私は、バツ∩ S私≠ ∅∀私、バツ∩S私≠∅\forall i,\,X\cap S_i \ne \emptyset この問題には名前がありますか？または、既知の問題になりますか？ 私の文脈では、は強く連結されたコンポーネントの基本サイクルを表し、すべてのサイクルと交差する頂点Xの最小セットを探しています。S1、… 、SnS1、…、SnS_1,\ldots,S_nバツバツX

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2つの行列および与えられた場合、B = P ^ {-1} APとなるような置換行列Pが存在するかどうかを決定する問題は（グラフ同型）と同等です。しかし、Pを緩和して単なる可逆行列にした場合、その複雑さはどうなりますか？この問題や他の困難な問題に関連する順列以外に、可逆行列Pに他の制限はありますか？n × nn×nn \times nAAABBBPPPB = P− 1A PB=P−1APB = P^{-1}APGIPPPPPPGI

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我々は、マトリックス与えられていると仮定、およびlet。その行列のパワーをどれくらい速く計算できますか？A ∈ RN× NA∈RN×NA \in \mathbb R^{N\times N}M ∈ N0m∈N0m \in \mathbb N_0AmAmA^m 積を計算することと比較した場合の次善の策は、高速なべき乗を使用することです。これには、行列積が必要です。mmmO （ログm ）O（ログ⁡m）\mathcal O(\log m ) 対角化可能な行列の場合、固有値分解を使用できます。それは自然な一般化であるジョーダン分解であり、挿管下では不安定であり、したがってカウントされません（afaik）。 一般的な場合の行列の累乗は高速化できますか？ 高速累乗法は、この質問のバリエーションも有用であることを示唆しています。 一般的な行列の二乗は、既知の行列乗算アルゴリズムよりも速く計算できますか？AAA

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ディック・リプトンのブログを読んでいる間、私は彼の終わり近くに、次の事実を偶然見つけボーン因子ポスト： すべての、形式関係が存在する 場合 ここで、、および、およびそれぞれはビット長がであり、因数分解は多項式サイズの回路。nnn(2n)!=∑k=0m−1akbckk(2n)!=∑k=0m−1akbkck (2^n)! = \sum_{k=0}^{m-1} a_k b_k^{c_k} m=poly(n)m=poly(n)m = poly(n)akaka_kbkbkb_kckckc_kpoly(n)poly(n)poly(n) つまり、、指数ビットのビットを持ち、潜在的に効率的に表現できます。(2n)!(2n)!(2^n)! 少し質問があります： 誰かが上記の関係の証拠を提供し、名前を教えてくれ、および/または参照を提供できますか？ 私はあなたを与えるとしたら、との各、と、あなたは（つまりはそれがである私に関係の妥当性をチェックする多項式時間アルゴリズムを提供することができ）？m a k b k c k N Pnnnmmmakaka_kbkbkb_kckckc_kNPNPNP

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nnn頂点の無向グラフが与えられた場合、k × k -bicliqueであるサブグラフを見つけるための最もよく知られているランタイムバインドは何ですか？bicliqueの片側を「推測」する時間アルゴリズムよりも高速なパラメータ化アルゴリズムがあり 、それらすべてに付随する頂点が少なくとも個あるかどうかを確認しますか？k × kk×kk\times k（ nk）ポリ（n）（nk）ポリ（n）\binom{n}{k}\mbox{poly}(n)kkk

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（入力サイズで）準線形時間のアルゴリズムが存在する問題が特定の特性を持っていると特徴付けられるかどうか疑問に思っていました。これには、サブリニア時間（プロパティテスト、決定問題の近似の代替概念）、サブリニアスペース（チューリングマシンに読み取り専用テープ、サブリニア作業スペース、書き込み専用出力があるスケッチ/ストリーミングアルゴリズムなど）が含まれます。テープ）およびサブリニア測定（スパースリカバリ/圧縮センシングなど）。特に、プロパティテストアルゴリズムのフレームワークと、ランダム化アルゴリズムおよび近似アルゴリズムの古典的なモデルの両方のこのような特性化に興味があります。 たとえば、動的プログラミングソリューションが存在する問題は、最適な部分構造と重複する部分問題を示します。貪欲な解決策が存在するものは、最適な部分構造とマトロイドの構造を示します。等々。このトピックに関する参考資料は大歓迎です。 決定論的な部分線形アルゴリズムを認めるいくつかの問題を除いて、私が見たほとんどすべての部分線形アルゴリズムはランダム化されています。準線形時間アルゴリズムを認める問題に関連する特定の複雑度クラスはありますか？はいの場合、このクラスはBPPまたはPCPに含まれていますか？

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置換語句は、標準（E）BNF文脈自由文法定義の拡張である：置換語句含まNプロダクション（または同等に、非終端）スルー。順列句の位置で、これらの生成物のすべてを正確に1回ずつ見たいと思いますが、これらの非終端記号の順序には興味がありません。{A1,…,An}{A1,…,An}\{ A_1, \dots, A_n \}nnnA nA1A1A_1AnAnA_n 例えば： S <- X { A, B, C } Y と同等です： S <- X A B C Y S <- X A C B Y S <- X B A C Y S <- X B C A Y S <- X C A …

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この論文のエップシュタインのアルゴリズムによるパスグラフ仕組みと、対応するヒープ構造してからへの最短パスを再構築する方法を理解しようとしています。P(G)P(G)P(G)kkkssstttH(G)H(G)H(G) これまでのところ： out(v)out(v)out(v)は、最短パスの一部ではないグラフ頂点を残すすべてのエッジが含まれます。最短経路上のエッジの代わりにこのエッジを使用すると、と呼ばれる「時間の無駄」によってヒープ順に並べられます。ダイクストラを適用することにより、からすべての頂点への最短経路を見つけます。vvvGGGGGGδ(e)δ(e)\delta(e)ttt Iは、エッジの長さ+（頭頂点（有向枝が指している場合）の値を取ることによって、これを計算することができる- 。有向エッジが開始されるテール頂点（）の値を、これがある場合、それ場合、最短経路上にありません>0>0> 0=0=0= 0、それは最短パス上にあります。 今は2分ヒープ構築Hout(v)Hout(v)H_{out}(v)のエッジのセットをheapifyingによってout(v)out(v)out(v)、それらに従ってδ(e)δ(e)\delta(e)任意用v∈Vv∈Vv \in Vルート、outroot(v)outroot(v)outroot(v)は子（=サブツリー）が1つしかありません。 構築するために IインサートO U T R O O T （V ）でH T（N E X T T（V ））端子頂点から始まるT。挿入中に頂点が何らかの方法でタッチされるたびに、*のマークが付けられます。HT(v)HT(v)H_T(v)outroot(v)outroot(v)outroot(v)HT(nextT(v))HT(nextT(v))H_T(next_T(v))ttt∗∗* 今は構築することができるの残りの部分を挿入することによって、H O U T（W ）でH T（V ）。内のすべての頂点H Gは、（V ）のいずれか含ま2から子供H T（V ）と1からH O U T（W ）又は0第から2秒〜を3ヒープです。HG(v)HG(v)H_G(v)Hout(w)Hout(w)H_{out}(w)HT(v)HT(v)H_T(v)HG(v)HG(v)H_G(v)222HT（v ）HT(v)H_T(v)111HO U T（w ）Hout(w)H_{out}(w)000222 Iを構築することができるDAGと呼ばれるD （G ）ごとに頂点を含有*から-marked頂点H T（V ）と各非ルート頂点に対するからH …

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私は理論的には仕事をしていませんが、私の仕事には理論論文を時々読む（そして理解する）必要があります。（一連の）結果を理解したら、これらの結果を一緒に働く人々と話し合いますが、ほとんどの人は理論的にもうまくいきません。そのような議論の1つで、次の質問が出されました。 与えられた2つのアルゴリズムが「類似」していると言うのはいつですか？ 「類似」とはどういう意味ですか？査読者を混乱させたり煩わせたりすることなく、論文で次の主張のいずれかを行うことができる場合、2つのアルゴリズムは類似していると言えます（より良い定義を歓迎します）： 請求項1「アルゴリズムアルゴリズムと同様であり、、また、問題の解決」AAABBBXXX クレーム2.「アルゴリズムはアルゴリズム似ています」CCC 少し具体的にしましょう。グラフアルゴリズムを使用しているとします。最初に、2つのアルゴリズムが類似するためのいくつかの必要条件： 彼らは同じ問題を解決しなければなりません。 彼らは、同じ高レベルの直感的なアイデアを持っている必要があります。 たとえば、グラフトラバーサル、幅優先、深さ優先のトラバーサルについては、上記の2つの条件を満たすことができます。最短経路の計算では、幅優先アルゴリズムとダイクストラのアルゴリズムが上記の2つの条件を満たします（もちろん、重み付けされていないグラフの場合）。等 これらも十分な条件ですか？より具体的には、2つのアルゴリズムが類似するために必要な条件を満たすと仮定します。もしあなたが本当にそれらを同様に呼んでもらえますか？ 彼らは異なる漸近的なパフォーマンスを持っていますか？ グラフの特別なクラスでは、1つのアルゴリズムは時間を必要とし、もう1つのアルゴリズムは時間を必要としますか？Ω(n)Ω(n)\Omega(n)O(n1/3)O(n1/3)O(n^{1/3}) それらは異なる終了条件を持っていますか？（同じ問題を解決していることを思い出してください） 前処理ステップは2つのアルゴリズムで異なりますか？ メモリの複雑さは2つのアルゴリズムで異なりますか？ 編集：質問は明らかに文脈依存であり、主観的です。ただし、上記の5つの条件でいくつかの提案が得られることを期待していました。回答を得るために必要な場合は、質問をさらに修正し、詳細を提供させていただきます。ありがとう！

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よく知られているように、グラフツリー分解は、各頂点バッグが関連付けられたツリーで構成され、次の条件を満たす。T T V ⊆ V （G ）V ∈ V （T ）GGGTTTTv⊆V(G)Tv⊆V(G)T_v \subseteq V(G)v∈V(T)v∈V(T)v \in V(T) すべての頂点は、バッグに発生します。TGGGTTT すべてのエッジには、エッジの両方のエンドポイントを含むバッグがあります。GGG すべての頂点について、を含むバッグは接続されたサブツリーを誘導します。V Tv∈V(G)v∈V(G)v \in V(G)vvvTTT また、分解からleannessと呼ばれる次の条件を要求する場合があります。 バッグのすべてのペアのために、の、もしとと、その後のいずれか）が存在する頂点互いに素のパス、又はB）ツリー、エッジ含まノードからの経路上のノードにようにおよびセットはすべてのパスと交差します。TaTaT_aTbTbT_bTTTA⊆TaA⊆TaA \subseteq T_aB⊆TbB⊆TbB \subseteq T_b|A|=|B|=k|A|=|B|=k|A| = |B| = kkkkA−BA−BA-BGGGTTTpqpqpqaaabbb|V(Tp)∩V(Tq)|≤k|V(Tp)∩V(Tq)|≤k|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq kV(Tp)∩V(Tq)V(Tp)∩V(Tq)V(T_p) \cap V(T_q)A−BA−BA-BGGG ロビン・トーマスは、最小幅のツリー分解が常にあり、これもリーンであることを示しました。この事実のより単純な証拠は、たとえばパトリック・ベレンバウムとラインハルト・ディーステルによっていくつかの著者によって提供されました。 グラフ与えられた：私は何に興味を持ってすることは次のとおりであるとの最小幅木分解、我々は最小幅見つけることができます リーンの木分解多項式時間では？GGGGGGGGG 上記の2つの証明では、このような効率的な建設性は得られません。ベレンバウムとディーステルの論文では、「トーマスの定理のもう一つの（より建設的な）短い証明が、P。ベレンバウム、シュランケ・バウムツェルグンゲン・フォン・グラフェン、ディプロマルベイト、ハンブルグ大学2000で与えられた」と述べられている。残念ながら、私はオンラインで原稿を見つけることができず、私のドイツ語はそれほど素晴らしいものではありません。

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バックグラウンド 二分決定木TTTは、ルートからリーフへのパスがインデックスを繰り返さないように、各内部ノード（およびルート）がインデックスラベル付けされているルート付きツリー出力によってラベル付けされ、各エッジは左の子に対して、右の子に対してでラベル付けされ。入力ツリーを適用するには：{ A 、B } 0 1 xj∈{1,...,n}j∈{1,...,n}j \in \{1,..., n\}{A,B}{A,B}\{A,B\}000111xxx ルートから開始 リーフにいる場合は、リーフラベルまたはを出力して終了しますBAAABBB ラベル読むjjjあなたの現在のノードのを、もしxj=0xj=0x_j = 0その後、左の子に移動している場合xj=1xj=1x_j = 1、次に右の子に移動します。 ステップ（2）にジャンプします ツリーは、特に、我々は木言う、機能を評価するための方法として使用されているTTT合計関数を表しfffそれぞれについて場合x∈{0,1}nx∈{0,1}nx \in \{0,1\}^n我々はT(x)=f(x)T(x)=f(x)T(x) = f(x)。ツリーのクエリの複雑さはその深さであり、関数のクエリの複雑さはそれを表す最小のツリーの深さです。 問題 バイナリ決定木Tが与えられると、TとT 'が同じ関数を表すような最小の深さのバイナリ決定木T'が出力されます。 質問 このための最も有名なアルゴリズムは何ですか？下限はわかっていますか？ことがわかったらどうしますか？T ′がほぼ最小の深さであることが必要な場合はどうでしょうか？depth(T′)=O(logdepth(T))depth(T′)=O(log⁡depth(T))\text{depth}(T') = O(\log \text{depth}(T))T′T′T' 素朴なアプローチ ナイーブアプローチには、が与えられ、深さd − 1のすべてのバイナリ決定木を再帰的に列挙し、それらがTと同じものに評価されるかどうかをテストします。これにはO （d 2 n n ！d=depth(T)d=depth(T)d = \text{depth}(T)d−1d−1d - 1TTTステップ（任意のxに対してT（x）が評価するものをチェックするのにdステップかかると仮定します）。より良いアプローチはありますか？O(d2nn!(n−d)!)O(d2nn!(n−d)!)O(\frac{d 2^n n!}{(n - d)!})dddT(x)T(x)T(x)xxx …

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エッジが自然数で装飾されている有向グラフを取得します。2つの頂点と間のすべてのパスセットは、パス内の連続する各エッジが前のエッジを装飾する自然数よりも大きい自然数で装飾されるようにしたいです。GGGPPPv1v1v_1v2v2v_2 このアプリケーションは、バスまたは電車のスケジュールになります。駅間の移動に基づいて2つの都市間の異なるルートを決定しようとしている場合。（最初の列車が到着する前に出発する予定の2番目の列車に乗ることはできません。） これを非公式に「スケジュールグラフ」と呼んでいます。しかし、私は文学でこれの名前が何であるかを知りません。 これに関連するアルゴリズムへの参照も興味深いものです。

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最近の質問では、BellmanとHeld-Karpに独立した、TSPの現在の古典的な動的プログラミングアルゴリズムについて説明しました。このアルゴリズムは、O （2 n n 2）時間で実行されることが広く報告されています。しかし、私の学生の一人が最近指摘したように、この実行時間には不当に強力な計算モデルが必要になる場合があります。O(2nn2)O(2nn2)O(2^n n^2) アルゴリズムの簡単な説明を次に示します。入力は有向グラフで構成さG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)とnnn頂点と非負の長さの関数ℓ:E→R+ℓ:E→R+\ell\colon E\to\mathbb{R}^+。任意頂点のsssとttt、および任意のサブセットバツXX除外すること頂点のsss及びttt、聞かせてL(s,X,t)L(s,X,t)L(s,X,t)からの最短ハミルトン経路の長さを示すsssにttt誘導された部分グラフでG[X∪{s,t}]G[X∪{s,t}]G[X\cup\{s,t\}]。Bellman-Held-Karpアルゴリズムは、次の再発に基づいています（または、経済学者や制御理論家が「ベルマンの方程式」と呼ぶのを好むように）。 L(s,X,t)={ℓ(s,t)minv∈X (L(s,X∖{v},v)+ℓ(v,t))if X=∅otherwiseL(s,X,t)={ℓ(s,t)if X=∅minv∈X (L(s,X∖{v},v)+ℓ(v,t))otherwise L(s,X,t) = \begin{cases} \ell(s,t) & \text{if $X = \varnothing_{\strut} $} \\ \min_{v\in X}~ \big(L(s, X\setminus\lbrace v\rbrace, v) + \ell(v,t)\big) & \text{otherwise} \end{cases} 頂点場合、最適な巡回セールスマンツアーの長さはです。最初のパラメーターsはすべての再帰呼び出しで定数であるため、\ Theta（2 ^ nn）個の異なるサブ問題があり、各サブ問題は最大でn個に依存します。したがって、動的プログラミングアルゴリズムはO（2 ^ nn ^ 2）時間で実行されます。sssL(s,V∖{s},s)L(s,V∖{s},s)L(s,V\setminus\{s\}, s)sssΘ(2nn)Θ(2nn)\Theta(2^n n)nnnO(2nn2)O(2nn2)O(2^n n^2) それともそれ！？ 標準整数RAMモデルでは、O(logn)O(log⁡n)O(\log n)ビットを使用して整数を一定時間操作できますが、少なくとも算術演算と論理演算では、大きい整数をワードサイズのチャンクに分割する必要があります。（そうでなければ、奇妙なことが起こります。）これは、より長いメモリアドレスへのアクセスにも当てはまりませんか？ アルゴリズムがスーパー多項式空間を使用する場合、メモリアクセスには一定の時間しか必要ないと仮定するのは合理的ですか？ …

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supAOPTsupAOPT\sup\frac{A}{OPT}MINMINMINAAAAAAOPTOPTOPTinfΩ−AΩ−OPTinfΩ−AΩ−OPT\inf\frac{\Omega-A}{\Omega-OPT}ΩΩ\Omega 同じ問題の異なる実現であることが知られている最小頂点被覆および最大独立集合のような問題に対して同じ近似比を与える; 同じ問題の最大バージョンと最小バージョンで同じ比率が得られます。同時に、標準理論ではMIN TSPとMAX TSPの比率が非常に異なることがわかっています。 最適な距離だけでなく、ペシマム\ Omegaまでの距離も測定しΩΩ\Omegaます。そのため、頂点カバーの場合、標準近似理論では222が最適な上限であると言われています。ただし、essentialy 222は、ペシマムと最適の最大比です。したがって、このようなアルゴリズムは、最悪の値を持つソリューションを出力することが保証されています。 私の議論の長所は、漸近分析では定数と低次の項を考慮しないことです（ここでは、Avi Widgersonの引用を思い出しました：「適切な抽象化レベルを使用しているため成功しています」）。アルゴリズムのリソース使用量を比較するための抽象化レベル。しかし、近似を研究するとき、何らかの理由で、それを回避できる場所に違いを導入します。 私の質問は なぜ微分近似理論はあまり研究されていません。または、関係する議論は十分に強力ではありませんか？

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所与の点におけるRのD及び距離Lは、それらのどの2つのユークリッド距離を超えるように、これらの点の最大の部分集合を見つけるリットル。p1,…,pnp1,…,pnp_1,\ldots,p_nRdRd\mathbb{R}^{d}llllll この問題の複雑さは何ですか？ 2つのポイントの距離が最大である場合は常にエッジを持つポイント上のグラフでは、問題は最大クリークを見つけることに相当します。必ずしもすべてのグラフは（例は星であるこの方法で得ることができるので、逆は成り立たないかもしれK 1 、7のためにD = 2）。したがって、関連する質問は、このクラスのグラフについて何が知られているのかということです。lllK1,7K1,7K_{1,7}d=2d=2d=2

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