タグ付けされた質問 「co.combinatorics」

今日の私の質問は（いつものように）ちょっとばかげています。しかし、私はあなたに親切にそれを考慮するように要請します。 ツリー幅の概念の背後にある起源や動機について知りたいと思いました。FPTアルゴリズムで使用されていることは確かに理解していますが、それがこの概念が定義された理由だとは思いません。 ロビン・トーマス教授のクラスで、このトピックに関する筆記ノートを作成しました。私はこの概念のアプリケーションのいくつかを理解していると思います（ツリーの分離プロパティを分解されたグラフに転送するように）が、何らかの理由で、この概念が開発された理由はグラフの近さを測定することであると確信していません木に。 私は自分自身をより明確にしようとします（できるかどうかはわかりませんが、質問が明確でない場合はお知らせください）。同様の概念が、この概念が「借用」されたと思われる数学の他の分野のどこかに存在したかどうかを知りたい。私の推測はトポロジーになりますが、背景が不足しているため、何も言えません。 私がこのことに興味を抱く主な理由は、その定義を初めて読んだとき、誰がなぜそれをどのように思い、どのような目的で考えるのかわからなかったからです。質問がまだ明確でない場合、私は最終的にこのようにそれを述べてみます-treewidthの概念が存在しないふりをしましょう。離散的な設定に対する自然な質問（またはいくつかの数学の定理/概念の拡張）は、ツリー幅として定義（関連する単語を使用させてください）を思い付くようになります。

61 graph-theory  co.combinatorics  big-picture  ho.history-overview  treewidth 

情報理論を使用して簡潔な組み合わせステートメントを簡単な方法で証明するお気に入りの例は何ですか？ 私が考えることができるいくつかの例は、ローカルでデコード可能なコードの下限に関連しています。たとえば、このペーパーでは、長さのバイナリ文字列の束に対して、すべてのに対して異なるとますペア{ }、この場合、mは少なくともnの指数関数であり、指数は平均比に線形に依存します。 N iはkはI 、J 1、J 2 、EをI = X jの1 ⊕ X J 2。k i / mx1,...,xmx1,...,xmx_1,...,x_mnnniiikikik_ij1,j2j1,j2j_1,j_2ei=xj1⊕xj2.ei=xj1⊕xj2.e_i = x_{j_1} \oplus x_{j_2}.ki/mki/mk_i/m 別の（関連する）例は、ブールキューブの等周不等式です（回答でこれについて詳しく説明してください）。 もっと良い例はありますか？できれば、短く簡単に説明できます。

54 co.combinatorics  big-list  it.information-theory 

検討の部分集合の互いに素なファミリーを{1,2、...、N}、。F 1、F 2、… F ttttF1、F2、… FtF1,F2,…Ft{\cal F}_1,{\cal F_2},\dots {\cal F_t} 仮定 （*） すべての およびすべてのおよび、を含むあります。R ∈ F I T ∈ F K S ∈ F J R ∩ Ti < j < ki<j<ki \lt j \lt kR ∈ F私R∈FiR \in {\cal F}_iT∈ FkT∈FkT \in {\cal F}_kS∈ FjS∈FjS \in {\cal F}_jR ∩ …

52 co.combinatorics  cg.comp-geom  open-problem  linear-programming 

私が興味を持っている質問は、ランダムな順列の生成に関するものです。基本的な構成要素として確率的なペアワイズスワップゲートを考えると、要素の一様にランダムな順列を生成する最も効率的な方法は何ですか？ここでは、「確率的ペアワイズスワップゲート」を、各ゲートに対して自由に選択できる確率で選択された要素と間でスワップゲートを実装し、それ以外の場合はアイデンティティを実行する操作とします。nnniiijjjppp これは通常、ランダム順列を生成する方法ではないことを理解しています。通常、Fisher-Yatesシャッフルのようなものを使用する可能性がありますが、許可された操作が異なるため、これは私が念頭に置いているアプリケーションでは機能しません。 明らかにこれを行うことができます、問題はどれくらい効率的かです。この目標を達成するために必要な確率的スワップの最小数は何ですか？ 更新： Anthony Leverrierは、ゲートを使用して正しい分布を実際に生成する以下のメソッドを提供します。伊藤剛は、コメントで同じスケーリングを使用する別のアプローチを提供します。ただし、これまでに見た中で最も良い下限は、これはとしてスケーリングされ。だから、問題はまだ開いたままです：ができる最善のことです（つまり、より良い下限がありますか？）または、より効率的な回路ファミリはありますか？O(n2)O(n2)O(n^2)⌈log2(n!)⌉⌈log2⁡(n!)⌉\lceil \log_2(n!) \rceilO(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n)O(n2)O(n2)O(n^2) 更新： いくつかの回答とコメントは、確率が固定されている確率的スワップのみで構成される回路を提案しています。このような回路では、次の理由でこの問題を解決できません（コメントから解除）。1212\frac{1}{2} そのようなゲートを使用する回路を想像してください。次に、確率の計算パスが存在するため、順列は整数kに対して確率で発生する必要があります。ただし、均一な分布の場合、が必要これは書き換えることができます。これは明らかにの整数値のために満たすことができないのためいるので、（場合、ただし。mmm2m2m2^mk2−mk2−mk 2^{−m}k2−m=1n!k2−m=1n!k 2^{−m}=\frac{1}{n!}kn!=2mkn!=2mk n! = 2^mkkkn≥3n≥3n\geq33|n!3|n!3|n!n≥3n≥3n\geq 33∤2m3∤2m3\nmid 2^m 更新（賞金を提供しているmjqxxxxから）： 提供される賞金は、（1）ゲートが必要であることの証明、または（2）ゲート未満を使用する動作回路です。ω(nlogn)ω(nlog⁡n)\omega(n \log n)nnnn(n−1)/2n(n−1)/2n(n-1)/2

48 co.combinatorics  randomness  probabilistic-circuits 

非公式的に言えば、文字列のコルモゴロフ複雑性出力がその最短番組の長さ。それを使用して「ランダム文字列」の概念を定義できます（場合、はランダムです）。ほとんどの文字列がランダムであることがわかります（短いプログラムはそれほど多くありません）。X X K （X ）≥ 150 | x |バツxxバツxxバツxxK（X ）≥ 150 | x |K(x)≥0.99|x|K(x) \geq 0.99 |x| コルモゴロフ複雑性理論とアルゴリズム情報理論は、最近非常に発達しています。また、コルモゴロフの複雑さに関する記述に何も含まれていないさまざまな定理の証明でコルモゴロフの複雑さを使用するいくつかの面白い例があります（建設的なLLL、ルーミス-ホイットニーの不等式）。 計算の複雑さおよび関連分野でコルモゴロフの複雑さとアルゴリズム情報理論の優れたアプリケーションはありますか？Kolmogorovの複雑さを単純なカウント引数の単純な置換として使用する結果があるはずです。もちろん、これはそれほど興味深いものではありません。

44 cc.complexity-theory  big-list  co.combinatorics  it.information-theory 

この質問、特にOrの回答の最後の段落に触発されて、次の質問があります。 TCSの対称群の表現理論の応用を知っていますか？ 対称グループSnSnS_nは、グループ演算構成を持つのすべての順列の{ 1 、… 、n }{1,…,n}\{1, \ldots, n\}グループです。表現SnSnS_nから準同型であるSnSnS_n可逆の一般線形群に対してn × nn×nn \times n複雑なマトリックス。表現は行列の乗算により作用しCnCn\mathbb{C}^nます。の既約表現はSnSnS_n、CnCn\mathbb{C}^n不変の適切な部分空間を残さないアクションです。有限群の既約表現により、定義することができます非アーベル群上のフーリエ変換。このフーリエ変換は、巡回/アーベル群上の離散フーリエ変換の優れた特性のいくつかを共有しています。たとえば、畳み込みはフーリエ基底の点ごとの乗算になります。 対称群の表現理論は美しく組み合わせられています。各既約表現はSnSnS_n、整数分割に対応しnnnます。この構造および/または対称群のフーリエ変換は、TCSで用途を見つけましたか？

42 co.combinatorics  permutations  fourier-analysis  gr.group-theory 

頂点を色のセットにマッピングするすべての関数、すべての頂点に対してような色割り当てがある場合、グラフは選択可能（ -list- colorableとも呼ばれます）です。、すべてのエッジに対して。kkkkkkfffkkkcccvvvc(v)∈f(v)c(v)∈f(v)c(v)\in f(v)vwvwvwc(v)≠c(w)c(v)≠c(w)c(v)\ne c(w) ここで、グラフが選択できないと仮定します。つまり、頂点から有効な色の割り当てを持たない個の色のタプルまでの関数が存在します。私が知りたいのは、必要な色の合計はどれくらいですか？どれくらい小さくできますか？異なる色のみを使用する色付け不可能なを見つけることが保証されるような数（依存しないますか？GGGkkkfffkkkccc∪v∈Gf(v)∪v∈Gf(v)\cup_{v\in G}f(v)N(k)N(k)N(k)GGGfffN(k)N(k)N(k) CSとの関連性があれば、つまり存在し、我々がテストすることができる定数の-choosability単独指数時間（ちょうどすべての試みを\ binom {N（K）}、{K}を^ n個の選択肢F、及びそれぞれについて、時間内に色付けできることをチェックしますk ^ nn ^ {O（1）}）。そうでなければ、n ^ {kn}のようなより急速に成長するものが必要になるかもしれません。N(k)N(k)N(k)kkkkkk(N(k)k)n(N(k)k)n\binom{N(k)}{k}^nfffknnO(1)knnO(1)k^n n^{O(1)}nknnknn^{kn}

39 graph-theory  co.combinatorics  graph-colouring  exp-time-algorithms 

エラー修正自体以外の理論上のエラー修正コードの用途は何ですか？私は3つのアプリケーションを知っています。ハードコアビットに関するゴールドライヒ-レビンの定理、抽出器のトレビザンの構築およびブール関数の硬さの増幅（スーダン-トレビサン-バダンによる）。 エラー修正コードの他の「深刻な」または「レクリエーション」アプリケーションとは何ですか？ UPD：Reed-Solomonコードのリストデコードの面白いアプリケーションの1つは、20問のゲームの特定のバリエーション（および別の、より簡単なバリエーション）に対するソリューションです。

39 co.combinatorics  big-list  coding-theory 

4色定理（4CT）は、すべての平面グラフが4色付け可能であると述べています。[Appel、Haken 1976]と[Robertson、Sanders、Seymour、Thomas 1997]によって与えられた2つの証明があります。これらの証明は両方ともコンピューター支援であり、非常に威圧的です。 グラフ理論には、4CTを暗示するいくつかの推測があります。これらの推測の解決には、おそらく4CTの証拠のより良い理解が必要です。そのような推測の1つを次に示します。 推測：平面グラフ、Cを色のセット、f ：C → Cを固定小数点の自由なインボリューションとします。ましょL = （LのV：V ∈ V （Gが））ようなものでGGGCCCf：C→ Cf:C→Cf : C \rightarrow CL = （Lv：V ∈ V（G ））L=(Lv:v∈V(G))L = (L_v : v \in V(G)) すべてのためのV ∈ Vと| Lv| ≥4|Lv|≥4|L_v| \geq 4V ∈ Vv∈Vv \in V もし次いで、F （α ）∈ LのVすべてのためのV ∈ Vすべてについて、α ∈ C。α ∈ Lvα∈Lv\alpha …

38 graph-theory  co.combinatorics  big-list  graph-colouring 

ルービックキューブの明白な一般化を考えてみましょう。与えられたスクランブルキューブを解く動きの最短シーケンスを計算するのはNP困難ですか、それとも多項式時間アルゴリズムはありますか？n × n × nn×n×nn\times n\times n [関連する結果のいくつかは、最近のブログ投稿で説明されています。]

38 cc.complexity-theory  co.combinatorics  np-hardness  open-problem  puzzles 

アップデート：閉塞セット（着色可能とuncolorableグリッドサイズ間すなわちN×Mの「障壁」）の全ての単色矩形フリー4 -着色のためには、現在されて知られています。 誰もが5色を試してみませんか？;） 次の質問はラムジー理論から生じます。 n行m列のグリッドグラフの色を考えてみましょう。A は、同じ色の4つのセルが長方形の角として配置されるたびに存在します。例えば、（0 、0 ）、（0 、1 ）、（1 、1 ）、及び（1 、0 ）、それらが同じ色を有する場合単色矩形を形成します。同様に、（2 、2 ）、（2 、6 ）、kkknnnmmmmonochromatic rectangle(0,0),(0,1),(1,1),(0,0),(0,1),(1,1),(0,0), (0,1), (1,1),(1,0)(1,0)(1,0)及び（3 、2 ）同じ色で着色場合、モノクロ矩形を形成します。(2,2),(2,6),(3,6),(2,2),(2,6),(3,6),(2,2), (2,6), (3,6),(3,2)(3,2)(3,2) 質問：単色の長方形を含まない17行17列のグリッドグラフに色がありますか？その場合、明示的な色付けを提供します。444171717171717 既知の事実： 行列 17である 4単色矩形なし-colorableが、公知の着色スキームはに延びるように表示されない 17行列 17ケース。（ 17 x 17を決定するための赤いニシンである可能性が高いため、既知の 16 x 17のカラーリングは省略しています。） 161616171717 444171717171717161616171717171717171717行列 19であるNOT 4単色矩形なし-colorable。 181818191919 444 x 18および 18 x 18も不明なケースです。これらへの回答も興味深いでしょう。 171717181818181818181818 …

37 co.combinatorics  puzzles  open-problem  ramsey-theory  graph-colouring 

最近cs.seで2つの 質問がありましたが、これらは次の質問に関連するか、または次の質問と同等の特別なケースがありました。 ようなシーケンスa1,a2,…ana1,a2,…ana_1, a_2, \ldots a_nのa nがます 二置換の和に分解との、、その結果。nnn∑ni=1ai=n(n+1).∑i=1nai=n(n+1).\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1).ππ\piσσ\sigma1…n1…n1 \dots nai=πi+σiai=πi+σia_i = \pi_i + \sigma_i\, いくつかの必要条件があります： がになるようにソートされる場合、aiaia_ia1≤a2≤…≤ana1≤a2≤…≤ana_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\, ∑i=1kai≥k(k+1).∑i=1kai≥k(k+1).\sum_{i=1}^k a_i \geq k(k+1). ただし、これらの条件は十分ではありません。このmath.seの質問の答えから、シーケンス5,5,5,9,9,9は2つの順列の合計として分解することはできません（1または5の両方が4）とペアになります。 私の質問は、この問題の複雑さは何ですか？

29 cc.complexity-theory  ds.algorithms  co.combinatorics  np-hardness  permutations 

多項式法は、コンビナトリアルヌルステルレンサッツとシュヴァレー-警告の定理は、加算的組み合わせ論の強力なツールであると言います。問題を適切な多項式で表すことにより、解の存在、または多項式の解の数を保証できます。それらは、制限された和集合やゼロサム問題などの問題を解決するために使用されてきました。 私にとって、これらのメソッドの非構築的な方法は本当に驚くべきものであり、これらのメソッドを適用して、複雑なクラスの興味深い包含および分離を証明する方法に興味があります（結果が他のメソッドで解決できる場合でも）。 多項式法で証明できる複雑な結果はありますか？

29 cc.complexity-theory  reference-request  co.combinatorics  polynomials 

グラフを平面に描画できるかどうかを多項式時間で決定するいくつかのアルゴリズムがあり、多くは線形の実行時間で行われます。しかし、クラスで簡単かつ迅速に説明でき、PLANARITYがPであることを示す非常に単純なアルゴリズムを見つけることができませんでした。ご存知ですか？ 必要に応じて、クラトフスキーまたはファリーの定理を使用できますが、グラフのマイナー定理のような深いものは使用できません。また、実行時間を気にせず、単に多項式を求めます。 以下は、これまでの3つの最良のアルゴリズムであり、単純さ/詳細な理論が不要なトレードオフを示しています。 アルゴリズム1：我々はグラフが含まれているかどうかをチェックすることができることを使用してまたはK 3 、3多項式時間でマイナーなように、私たちは深い理論を用いて、非常に単純なアルゴリズムを取得します。（この理論は、Saeedが指摘したように、すでにグラフの埋め込みを使用しているため、これは実際のアルゴリズム手法ではなく、グラフのマイナー定理を既に知っている/受け入れている学生に伝えるのは簡単なことです）K5K5K_5K3,3K3,3K_{3,3} アルゴリズム2 [誰かの答えに基づく]：3連結グラフを処理するのに十分であることが容易にわかります。これらについては、顔を見つけて、トゥッテの春の定理を適用します。 アルゴリズム3 [Juhoが推奨]：Demoucron、MalgrangeおよびPertuiset（DMP）アルゴリズム。サイクルを描くと、残りのグラフのコンポーネントはフラグメントと呼ばれ、適切な方法でそれらを埋め込みます（その間、新しいフラグメントを作成します）。このアプローチは、他の定理を使用しません。

28 graph-algorithms  co.combinatorics  planar-graphs 

スペクトルグラフ理論への関心が高まっており、それが魅力的だと感じており、これまでよりも徹底的に読んでいないドキュメントをいくつか収集し始めました。 しかし、いくつかの情報源（たとえば、向こう）に現れた声明には興味があります。本質的には、グラフ理論の結果の一部はスペクトルベースの手法のみを使用して証明されており、今のところ、これらの手法をバイパスすることは知られています。 これをスキップしない限り、これまで読んだ文献でそのような例を目にしたことを思い出せません。そのような結果の例を知っていますか？

28 graph-theory  co.combinatorics  proofs  spectral-graph-theory