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最小の長方形で単純な凹面多角形をカバーしようとしています。長方形の長さは任意ですが、最大の幅があり、多角形が鋭角になることはありません。 私は凹型ポリゴンを三角形に分解して、各三角形を最小限に制限する一連の最小重複長方形を生成し、それらの長方形をより大きな長方形にマージしようと考えました。ただし、これはポリゴンのエッジの小さなノッチでは機能しないと思います。これらのノッチの反射頂点によって作成された三角形は、間違った長方形を作成します。ノッチにまたがる/無視する長方形を探しています。 計算幾何学については本当に何も知らないので、どのように質問を始めればよいのかよくわかりません。 私は似ている他の投稿を見つけましたが、必要なものではありません： ポリゴンを最小量の長方形と三角形に分割します 最小数の正方形で任意のポリゴンをカバーする 見つける kkk 最大数のポイントをカバーする長方形 長方形のセットをカバーする最小の長方形を見つけるためのアルゴリズム いくつかの例：黒は入力です。赤は許容可能な出力です。 別の例：2番目の出力が優先されます。ただし、両方の出力を生成し、別の要因を使用して優先度を決定することがおそらく必要であり、このアルゴリズムの責任ではありません。 曲線を模倣するポリゴンは非常にまれです。このシナリオでは、長方形の領域の多くが無駄になります。ただし、各長方形は最大幅の制約に従うため、これは許容されます。 また、私はこの記事が必要なものに近いことを発見しました。 Paul Iacob、Daniela Marinescu、およびCristina Lucaによる長方形の作品 たぶんより良い質問は、「凹面多角形の長方形のような部分をどのように識別できますか？」です。 目的の実装を示す画像を次に示します。 緑は実際の材料使用量です。赤い長方形はレイアウトです。青はポリゴン全体のMBRです。少しMBRを取得して埋めようとする必要があると考えています。ポリゴンの中央で終わる左上隅の2〜3個の緑色の長方形は高価です。それが最小化したいものです。緑の長方形には最小と最大の幅と高さがありますが、領域をカバーするために必要な数の行と列を使用できます。繰り返しますが、入力にまたがらない長方形の数を最小限に抑える必要があります。また、非常に高価な小さな場所に収まるように緑色の長方形の形状を変更することもできます。言い換えれば、できるだけ多くの長方形をできる限り広げることが理想的です。

11 co.combinatorics  cg.comp-geom 

次の演習は、私が監督する学生に配布されています。 平面内のポイントが与えられた場合、すべてのポイントのペアの中で距離が最小になるポイントのペアを見つけるアルゴリズムを考案します。アルゴリズムは時間o （n 2）で実行する必要があります。nnno （n2）o(n2)o(n^2) 時間タスクを解決する（比較的）単純な分割統治アルゴリズムがあります。Θ （n logn ）Θ(nlog⁡n)\Theta(n \log n) 質問1：最悪の場合に特定の問題を正確に解決するアルゴリズムはありますか？o（nログn ）o(nlog⁡n)\mathcal{o}(n \log n) これが可能なのではないかと私に思わせたのは、私がいくつかの講演で見たことを覚えている結果です（参考文献を歓迎します）。これはないより一定数よりその線に沿って何かを述べ点のいくつかの点の周囲面に配置することができるP半径の円の内側R ∈ Rと、R関与点のうちのいずれか2つの間の最小距離を。私はc = 7、中央にpを持つ正六角形を形成する点（極端な場合）と思います。C ∈ Nc∈Nc \in \mathbb{N}pppR ∈ Rr∈Rr \in \mathbb{R}rrrc=7c=7c=7ppp その場合、次のアルゴリズムはそれらの問題をステップで解決するはずです。nnn fun mindist [] | p::[] = INFINITY | mindist p1::p1::[] = dist(P[0], P[1]) | mindist p::r = let m = mindist(r) …

11 ds.data-structures  cg.comp-geom 

従来のアートギャラリーの問題は、可視性の概念を備えた地域と警備員を設定し、地域全体を見るために配置する必要がある警備員の最小数を要求します。 視界領域が代わりにガードのペアによって定義されているアートギャラリーのバリアントを見たことがありますか。たとえば、1つの定式化は、最小境界ディスクがそれをカバーするガードのペアがある場合、ポイントがカバーされることです。

11 reference-request  cg.comp-geom 

(X,d)(X,d)(X, d)(Y,f)(Y,f)(Y, f)μ:X→Yμ:X→Y\mu : X \rightarrow Yμμ\muρ=maxp,q∈X{d(x,y)f(μ(x),μ(y)),f(μ(x),μ(y))d(x,y)}ρ=maxp,q∈X{d(x,y)f(μ(x),μ(y)),f(μ(x),μ(y))d(x,y)} \rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \} 品質には他の尺度もあります：Dhamdhereらは「平均」歪みを研究しています： σ=∑d(x,y)∑f(μ(x),μ(y)).σ=∑d(x,y)∑f(μ(x),μ(y)). \sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}. ただし、ここで興味のある測定値は、平均加法誤差を調べるMDSのような方法で使用される測定値です。 ε2=∑|d(x,y)−f(μ(x),μ(y))|2ε2=∑|d(x,y)−f(μ(x),μ(y))|2 \varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2 MDS-のようなメソッドを外部に広くtheoryCSコミュニティを研究しているが、私は（唯一の紙の承知しているDhamdhereらが調べのこの措置の下での最適化、およびライン（上に埋め込むの限定された問題のためにあまりにもその））（補足：Tasos Sidiropoulosの2005年のMS論文には、以前の研究の素晴らしいレビューがあります）Y=RY=RY = \mathbb{R} このエラーの概念の下での厳格な品質分析に関して人々が知っている最近の研究はありますか？これらの問題は一般にNP困難ですが、私が興味を持っているのはあらゆる種類の近似です。

11 approximation-algorithms  cg.comp-geom  embeddings 

Johnson-Lindenstraussの補題は、の点のコレクション、マップが存在し、すべての： 同様のステートメントはメトリックでは不可能であることが知られていますが、そのような低い値を回避する方法があるかどうかは知られていますより弱い保証を提供することによる限界？たとえば、上記の補題のバージョンがありますN R dは F ：R D → Rのkのk = O （ログN / ε 2）X 、Y ∈ S （1 - ε ）| | f （x ）− f （y ）| | 2 ≤ | | x − y | | 2 ≤ （1 + ε ）|SSSnnnRdRd\mathbb{R}^df:Rd→Rkf:Rd→Rkf:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^kk = O （logN …

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グロスとタッカーによって本トポロジーグラフ理論によれば、所与の細胞埋め込み（「表面」によって、私はここにいくつかの球を意味する面上にグラフをハンドル、下記 SをN正確で球体を指す Nハンドル）、元のグラフ埋め込みの面を頂点として扱い、対応する面が元のグラフで共通するすべての側の2つの頂点間にエッジを追加することにより、デュアルマルチグラフを定義できます。N ≥ 0n≥0n\geq 0SんSnS_nんnn これが私の問題です。グラフを考えると、私は見つける必要があり、別のグラフG "の表面が存在するようなSとの細胞の埋め込みGのSをするようにGが「この埋め込みの二重のあるG。多くの可能なグラフG 'があることを知っています。グラフGごとに1つを見つける必要があります。GGGG』G′G'SSSGGGSSSG′G′G'GGGG′G′G'GGG いくつか質問があります。私の現在の戦略は、（1）Gの属を決定すること、（2）S n上のGの埋め込みを見つけること、そして（3）この埋め込みの双対を見つけることです。これらのすべてのステップには既知のアルゴリズムがあります（ただし、（1）はNP-Hardです）。属の計算を迂回するG ′を見つける方法はあるのでしょうか。これは、このアプローチのボトルネックであるためです。それが私の最初の質問です。私の2番目の質問は、Gが正則であることを知っている場合、それは属の計算を容易にすることができますか？そして、3つ目の質問は、この問題の解決に役立つ参考資料の要求です。nnnGGGGGGSnSnS_nG′G′G'GGG

11 ds.algorithms  reference-request  graph-theory  cg.comp-geom  topological-graph-theory 

線分の傾きをデジタル化から回復する作業はありましたか？もちろん、これを完全な精度で行うことはできません。必要なのは、デジタル化された線から可能な勾配の間隔を導き出す方法です。 （私が使用しているデジタル化された線の概念は、Rosenfeldのものです：ペアのセットここで、は整数（または連続した整数のブロック）に及び、は整数を表します最も近い（場合、をとり）。I N I 、N T （X ）X X = K + 1 / 2 N I 、N T （X ）= K（i 、n i n t （a i + b ））（私、ん私んt（a私+b））(i,nint(ai+b))私私in i n t （x ）ん私んt（バツ）nint(x)バツバツxX = K + 1 / 2バツ=k+1/2x=k+1/2n i n t （x ）= kん私んt（バツ）=knint(x)=k 私はこれについて自分でいくつかの作業をしましたが（http://jamespropp.org/SeeSlope.nbを参照）、計算幾何学に正式な背景がないので、質問がそのように思われるので、私はホイールを再発明しているのではないかと思います基本的なもの。 実際、傾きを推定する線形回帰法が文献にあることは知っていますが、どこにも結果を見つけることができませんでした。（この結果は言い、1つの選択した場合とでランダムに均一、傾きの間、差分ラインのと斜面近似する回帰直線の点（）の標準偏差はです。O …

11 reference-request  cg.comp-geom  cv.computer-vision  image-processing 

次元のユークリッド空間に点のセットがある、問題は、凸包が原点を中心とする単位ボールを含むかどうかを判断することです。んんnddd NPでこの問題はありますか？ 凸包の外側のボールのポイントを目撃者として示し、線形計画法を使用してこの事実を検証できるため、これはco-NPです。 ここで私の焦点は平方根に関連するコンピューター精度ではありませんが、これも興味深いかもしれません。 （/mathpro/141782/efficiently-determine-if-convex-hull-contains-the-unit-ballに関連しています。）

10 cc.complexity-theory  cg.comp-geom 

ましょうセットであるN個の点のR D。いずれかのためのT ≥ 1、T -spanner無向グラフであり、G = （P 、E ）ユークリッド測度下で重み付けは、そのようなその任意の2点のためのV、Uを、最短距離G、D （V 、U ）、以下であるトンの間のユークリッド距離回Vおよびuは、| v u |PPPNNNRdRd\mathbb{R}^dt≥1t≥1t \geq 1tttG=(P,E)G=（P、E）G=(P, E)vvvuあなたuGGGd(v,u)d（v、あなた）d(v, u)tttvvvuあなたu|vu||vu||v u| （この定義は任意の測定空間に簡単に拡張できることに注意してください）。 とtを入力として使用する次のアルゴリズムを考えます。PPPttt E = empty for every pair of points (v, u) in ascending order under |vu| if the shortest path in (P, E) is more than t times |vu| …

10 cg.comp-geom 

時間/空間のトレードオフの形式で表された、次元のポイントのセットに対してハーフスペース範囲カウントクエリを実行するための現在の最良の境界は何ですか。Matousekの独創的な1993年の論文（定理6.2、効率的な階層カッティングによる範囲検索）によると、サイズのデータ​​構造を使用して、について、半空間の交差であるクエリの範囲カウントを実行できます。、場合、時間。以下のためにこれは時間。ただし、範囲検索に関するAgarwalの調査（表36.3.2）では、限界はdddppp1≤p≤d+11≤p≤d+11 \le p \le d+1O(m)O(m)O(m)n≤m≤ndn≤m≤ndn \le m \le n^dO(nm1/dlogp−(d−p+1)/d(mn))O(nm1/dlogp−(d−p+1)/d⁡(mn))O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log^{p-(d-p+1)/d} \left(\frac{m}{n}\right)\right)p=1p=1p=1O(n/m1/d)O(n/m1/d)O(n/m^{1/d})O(nm1/dlog(mn))O(nm1/dlog⁡(mn))O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log(\frac{m}{n})\right)。バウンドの正しいステートメントは何ですか？あるいは、私は何を誤解していますか？最後に、場合、非表示のログ用語はありますか？m=ndm=ndm=n^d

10 reference-request  ds.data-structures  cg.comp-geom 

単純なポリゴンと整数kがあるとします。最小半径を見つけるためのいくつかの既存のアプローチはどのようなものがありrは私がカバーできるようなSをしてk個の半径の円R？rが固定されていて、kを最小化したい場合はどうでしょうか？SSSkkkrrrSSSkkkrrrrrrkkk

10 cg.comp-geom  planar-graphs  set-cover 

3Dデカルト空間内の一連の点を前提として、これらの点を並べ替えるアルゴリズムを探しています。これにより、2つの連続する点間の最小ユークリッド距離が最大化されます。 また、アルゴリズムが、連続するポイント間の平均ユークリッド距離が高くなる傾向がある場合にも有益です。

10 graph-algorithms  cg.comp-geom  optimization 

平面上のんnn点の凸包を見つけると、その実行時間の下限がΩ （n ログn ）Ω(nlog⁡n)\Omega(n\log n)になることがわかっています。ただし、それらのポイントを頂点とする単純なポリゴンに沿って発生する順序でポイントを指定すると、凸包は線形時間で見つけることができます。 与えられた点を頂点とする単純なポリゴンが多すぎるため、直感的には、それらの1つに沿った順序が非常に役に立たない情報のように聞こえるため、これは興味深いと思います。そして、それでも役立ちます。 だから私の質問は、同じ情報がアルゴリズムの実行時間を下げるのに役立つ他の場所はありますか？ 側面として、単純なポリゴンがあり、それらのポイントを頂点とする平面上にあるポイントセットの順列の数の境界も知りたいので、ポリゴンに沿ってポイントが発生する順序は順列の順序と同じです。これについて何がわかっていますか？

10 cg.comp-geom 

ベクターの二組のミンコフスキー和によって与えられます。A 、B ∈ Rdあ、B∈RdA, B \in R^d A ⊕ B = { +のB | ∈ A 、B ∈ B }あ⊕B={a+b|a∈あ、b∈B} A \oplus B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B \} 私はちょうど（ダン・ハルパリンに起因する）、興味深い問題を聞いた：形状を考えると、形状が存在しないようにA ⊕ A = B？BBBああAA ⊕ A = Bあ⊕あ=BA \oplus A = B しかし、それは私の質問ではありません（未解決の問題のようです）。場合、上記の問題、すなわち観察凸集合であり、その後、溶液が存在するA …

10 cg.comp-geom 

ここでの多くは、おそらくのためのアロンの最近の超線形下界を認識している自然の幾何学的な設定で-nets [PDF] 。関連するセットカバー/ヒッティングセットの問題の近似可能性について、このような下限が何を意味するかを知りたいのですが。 ϵϵ\epsilon もう少し具体的に言うと、レンジスペースのファミリー、たとえばファミリーについて考えてみましょう。 ：Xは有限の平面点セットであり、RにはXと線のすべての交差が含まれます }{(X,R){(X,R)\big\{(X,\mathcal{R})XXXRR\mathcal{R}XXX}}\big\} 線形または超線形であるいくつかの関数について、ファミリーにサイズf （1 / ϵ ）のϵ -netsを許可しない範囲空間が含まれている場合、最小ヒッティングセットの問題についてこれが何を意味するかこの範囲のスペースのファミリーに制限されていますか？fffϵϵ\epsilonf(1/ϵ)f(1/ϵ)f(1/\epsilon)

10 cg.comp-geom  set-cover  hypergraphs  approximation-hardness  epsilon-nets