グラフの双対を見つける


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グロスとタッカーによって本トポロジーグラフ理論によれば、所与の細胞埋め込み(「表面」によって、私はここにいくつかの球を意味する面上にグラフをハンドル、下記 SをN正確で球体を指す Nハンドル)、元のグラフ埋め込みの面を頂点として扱い、対応する面が元のグラフで共通するすべての側の2つの頂点間にエッジを追加することにより、デュアルマルチグラフを定義できます。n0Snn

これが私の問題です。グラフを考えると、私は見つける必要があり、別のグラフG "の表面が存在するようなSとの細胞の埋め込みGSをするようにGがこの埋め込みの二重のあるG。多くの可能なグラフG 'があることを知っています。グラフGごとに1つを見つける必要があります。GGSGSGGGG

いくつか質問があります。私の現在の戦略は、(1)Gの属を決定すること、(2)S n上のGの埋め込みを見つけること、そして(3)この埋め込みの双対を見つけることです。これらのすべてのステップには既知のアルゴリズムがあります(ただし、(1)はNP-Hardです)。属の計算を迂回するG を見つける方法はあるのでしょうか。これは、このアプローチのボトルネックであるためです。それが私の最初の質問です。私の2番目の質問は、Gが正則であることを知っている場合、それは属の計算を容易にすることができますか?そして、3つ目の質問は、この問題の解決に役立つ参考資料の要求です。nGGSnGG


私はここに単純なデュアルグラフを必要とする同様の質問を投稿しています
becko

回答:


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あなたの双子は最小限の属でなければなりませんか?グラフのセルラー埋め込みを見つけるのは簡単です。各頂点に入射するエッジの円形の順序を任意に選択し、埋め込みの面を、選択した順序と一致するエッジのシーケンスとして決定します。

私は、ベニントンとリトルによる著書「トポロジーグラフ理論の基礎」からの埋め込みのGEM(グラフエンコードマップ)表現が好きです。この表現では、埋め込みは、埋め込みのすべてのフラグに対して1つの頂点(頂点、エッジ、およびフェースの3つのインシデント)と、異なる2つのフラグごとに1つのエッジを持つ3エッジ色の3正則グラフによって表されます。それらが表す頂点/エッジ/面セットの要素の1つのみ。たとえば、下のWikipediaの画像は、通常の12面体のGEMとして解釈できます。赤いサイクルは面を表し、黄色のサイクルはエッジを表し、青いサイクルは頂点を表します。エッジは、2つの入射面の色に応じて色分けされます。

偉大な菱形二十面体

グラフGのエッジの循環順序が与えられている場合、そのGEMは、Gの各次数dの頂点に2d頂点のサイクル、各エッジに2つを作成し、各入射エッジの頂点のペアが選択した循環順序で循環し、次に、eの2つの端点の2組のGEMエッジを長方形にリンクするGの各エッジeについて。方向性のある埋め込みが必要な場合、これらの4つの頂点を長方形にリンクする方法の選択は、円形の順序と一致している必要があります。それ以外の場合は任意です。

次に、Gの埋め込みの頂点、エッジ、および面は、3つのエッジの色のうち2つが交互に繰り返されるGEMのサイクルによって表されます。Gの双対は、同じ基本的な3正規グラフを持つGEMによって表されますが、エッジの色の2つが交換されています。また、GEMによって表されるグラフは、そのすべての頂点サイクルを縮小し、平行エッジのペアを1つのエッジにマージすることによって形成できます。したがって、Gの双対を作成すること(どの双対を気にしない限り)は、線形時間で簡単に実行できます。


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実際、デュアルは、単純な型キャストによって、ゼロ時間で宝石表現から「構築」できます。同じデータ構造は、元のマップとそのデュアルの両方を表します。
Jeffε

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また、「各頂点に入射するエッジの循環順序を選択する」には、グラフを表すために使用している隣接リストデータ構造の順序を使用することをお勧めします。
Jeffε

G

+1この投稿は、私が述べたように質問に明確に答えます。この問題は明らかにここに含まれているため、今すぐこれを回答としてマークして新しい問題で新しい投稿を開始するか、この投稿を変更する必要があるかわかりません。
becko

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頂点、エッジ、面の数がわかっているので、オイラー特性から属を計算できます(サーフェスが方向付け可能かどうかに少し注意してください)。
David Eppstein
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