ペアワイズ可視性を備えたアートギャラリーバリアント？

従来のアートギャラリーの問題は、可視性の概念を備えた地域と警備員を設定し、地域全体を見るために配置する必要がある警備員の最小数を要求します。

視界領域が代わりにガードのペアによって定義されているアートギャラリーのバリアントを見たことがありますか。たとえば、1つの定式化は、最小境界ディスクがそれをカバーするガードのペアがある場合、ポイントがカバーされることです。

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Quis custodiet ipsos custodes？

— アルテムKaznatcheev

さて、@ Artemの質問に答えるために、接続されたガードの概念があります。これには2つのバリエーションがあります。ましょう可視グラフはガードがお互いを見ることができれば、各ガードのための頂点、および2つの頂点間の辺と定義されます。可視性グラフが接続されている場合、すべてのガードがガードされます（「ガードガードのセット」と呼ばれることもあります）。より強力な条件は、可視性グラフに単一の接続コンポーネントがあることです。次に、接続されたガードのセットがあります。そして、はい、かなりの量の仕事がここにあります。ある論文についてもブログに書いています。

— アーロンスターリング

おっと、上記は「可視性グラフに孤立した頂点がない場合、すべての警備員が警備されています...」

— アーロンスターリング

「誰が警備員を守っている」？私のラテンは豚だけです:)

— Suresh Venkat

私の定式化では、誘導可視性グラフを接続する必要がないことに注意してください。これは、軸に平行な長方形では問題にならないかもしれませんが、実際にはそれほど良くない領域（楕円形の領域など）では問題になる可能性があります。しかし、接続されたガードポインターは良いものです。おそらく、私の問題のいくつかのバリエーションがその方法で対処できると思います。

— スレシュヴェンカト

回答:

私はそのような仕事を知りません。ただし、このような問題はNP完全であり、穴のあるポリゴンの場合は、カバーの設定と同様に近似するのが難しいと予想されます。ガードは頂点のみにあり、ガードする必要があるのは頂点のみであるという比較的単純な頂点/頂点ガードの問題はこれが難しい（Eidenbenz、Stamm、and Widmayer（2001））。

単純なポリゴンの場合、このような問題は次のようになります。

NP完全
APXハード
係数内で近似できます。optはガードの最適数です。 $O(\log(\rm{opt}))$

頂点/頂点の保護問題は、単純なポリゴンのAPX困難です（Eidenbenz（1998））。

単純なポリゴンのアートギャラリー問題の最適なアルゴリズムは、小さな -netの構築に基づいています。単純なポリゴンでは、可視性ポリゴンによって誘導される範囲空間には、一定のVC次元があります。サークルも同様です。したがって、単純なポリゴンの可視ポリゴン、円、およびそれらの交差点と結合によって誘導される範囲空間も、一定のVC次元を持ち、 -近似アルゴリズムを取得できます。 $\varepsilon$ $O(\log(\rm{opt}))$

私はこの問題について私の論文について少し考えましたが、シングルガードに関連する既知の問題にかなり近いとは思われない、特に興味深いバリアントはないという意見になりました。

— ジェームズ・キング
ソース

この質問に遅れて（ごめんなさい！）。少なくとも少しの作業があります。

（1）これは、学部生（スワースモア）の研究論文のようです。「アートギャラリーでの最適な二重カバレッジ」スコットダレーン、アンドリューフランプトン、2008年、 PDFリンク。彼らの結論から：

漸進的により複雑なポリゴンでアルゴリズムをテストした後、プログラム全体が時間で実行されている間、アルゴリズムは最悪のケース以外のカメラを二重にカバーするためにカメラ配置よりも簡単にうまくいきます... $\lfloor 2n/3 \rfloor$ $n^2$

（2）2007年のドイツの博士号も見つけました。論文、「施設の位置と関連する問題」、Martin Romauch（PDF link）、「Vertex Guard Double Cover problem」に関する章を含み、穴のあるポリゴンではNP困難であることを示しています。彼はまた、正しい組み合わせの境界がことを示しています（残念ながら明らかです！）。私はこれをざっと読んだだけですが、一見の価値があります。 $\lfloor 2n/3 \rfloor$

— ジョセフ・オルーク
ソース

だから私はこれについて考えてきました。ダブルカバレッジと私の問題の主な違いは、この「接続性」の問題があることだと思います。つまり、2つのガードの可視領域は、互いに「可視」でない限り、どちらもアクティブになりません。互いに見えないガードで地域を二重にカバーできる例を作成するのは簡単です。接続されたガードの問題も調べられましたが、ここでは適用されない別のコンテキストで-特にガードの可視性グラフが接続されている必要があり、私はそれを必要としません。

— スレシュヴェンカト

@Suresh：したがって、（a）お互いを見ることができ、（b）両方が見るガードのペアがある場合、ポイントはカバーされますか？ただ...問題の定式化を理解しようとする

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— ジョセフ・オルーク

ああ、そして（c）両方とも「範囲内」ですか？

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— ジョセフ・オルーク

そうでもない。純粋な可視性ではありません。ガードのペアは「可視領域」を定義し、ポイントがガードの可視領域にある場合はポイントがカバーされます。実際、お互いを見ることができない警備員や、伝統的な「視線」の意味でのポイントを「カバー」することは可能です。

— スレシュヴェンカト

明確にしてくれてありがとう。このモデルは、私が知っているものとは異なるように見えます。

— ジョセフ・オルーク