平均歪み埋め込み

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$(X, d)$ $(Y, f)$ $\mu : X \rightarrow Y$ $\mu$

ρ = max_{p, q \in X} {\frac{d (x, y)}{f (μ (x), μ (y))}, \frac{f (μ (x), μ (y))}{d (x, y)}}

$\rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \}$

品質には他の尺度もあります：Dhamdhereらは「平均」歪みを研究しています：

σ = \frac{\sum d (x, y)}{\sum f (μ (x), μ (y))} .

$\sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}.$

ただし、ここで興味のある測定値は、平均加法誤差を調べるMDSのような方法で使用される測定値です。

ε^{2} = \sum | d (x, y) - f (μ (x), μ (y)) |^{2}

$\varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2$

MDS-のようなメソッドを外部に広くtheoryCSコミュニティを研究しているが、私は（唯一の紙の承知しているDhamdhereらが調べのこの措置の下での最適化、およびライン（上に埋め込むの限定された問題のためにあまりにもその））（補足：Tasos Sidiropoulosの2005年のMS論文には、以前の研究の素晴らしいレビューがあります） $Y = \mathbb{R}$

このエラーの概念の下での厳格な品質分析に関して人々が知っている最近の研究はありますか？これらの問題は一般にNP困難ですが、私が興味を持っているのはあらゆる種類の近似です。

approximation-algorithms cg.comp-geom embeddings

— スレシュ・ベンカット
ソース

3

これはいい質問です。近似アルゴリズムはわかりませんが、最小歪み（およびメトリックラベリングなどの関連問題）を近似するための既知の硬度の結果は、を近似するのが難しいことも示しています。 $\epsilon^2$

その理由は、少なくとも一定の割合のエッジで、YESの場合に歪みがあり、NOの場合に歪みがになるように、NP困難問題から削減されるためです。したがって、YESの場合、はNOの場合よりも係数小さくなります。詳細については、たとえばKhot-Saketの論文を参照してください：www.cs.cmu.edu/~rsaket/pubs/approx.pdf $O(1)$ $\Omega(k)$ $\epsilon^2$ $k$

私は彼らの論文からどの硬度係数が続くのか正確にはわかりませんが、それを理解することは難しくないはずです。（少なくとも、メトリックのラベル付けで得られる係数は従うべきだと思います。） $\log^c(n)$

— モリッツ
ソース

それは良い提案です。メトリックのラベル付け作業については、間違いなく調べます。ラインへの埋め込みでさえMAX SNP困難であることが知られていますが、より強力な結果を見るのは（残念ながら）興味深いことです。

— Suresh Venkat

2

私は何かを見逃しているかもしれませんが、なぜですか？加法近似に興味があるので、すべてのになるようにスケーリングできませんか？ $\epsilon^2 \le (\rho-1)\sum d(x,y)^2$ $f(\mu(x), \mu(y)) \ge d(x,y)$ $x,y$

ここでの利点の1つは、短い長さではうまくいかず、最終的には問題ないということです。また、に埋め込みたいと言った場合、問題は簡単です（近似することさえできますか）？（質問を記録する数学プログラムを作成できますか？） $\ell_2$

— アディティア
ソース

いい視点ね。答えを変えました。

— モリッツ

処方に依存します。固定次元のターゲット部分空間のを最小化するという問題を提起すると、ランク制約によりいくつかの問題が発生します。「JLスタイル」の定式化を使用する（つまり、エラーを修正して適切な次元を見つける）場合、何かが実行可能になる可能性があります。

ϵ

$\epsilon$

— Suresh Venkat

「競合」するのに役立つかもしれない量はです。への埋め込みの問題を考えてみてください（先ほどを提案しましたが、厄介なsqrtがあります）。がである埋め込みを取得することを明確に目指す必要があります（あいまいな意味で、これは、ほとんどの乗法的にオフであることを意味します。たとえば、（一定の程度）エキスパンダー？（またはそれが不可能であることを証明しますか？）

S := \sum d (x, y)^{2}

$S:= \sum d(x,y)^2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{2}

$\ell_2$

ϵ^{2}

$\epsilon^2$

o (S)

$o(S)$

(1 + o (1))

$(1+o(1))$

x, y

$x,y$

— aditya