均一に分布pointsetsに貪欲スパナの最長辺の長さ

ましょうセットであるN個の点のR D。いずれかのためのT ≥ 1、T -spanner無向グラフであり、G = （P 、E ）ユークリッド測度下で重み付けは、そのようなその任意の2点のためのV、Uを、最短距離G、D （V 、U ）、以下であるトンの間のユークリッド距離回Vおよびuは、| v u $P$$N$$\mathbb{R}^d$$t \geq 1$$t$$G=(P, E)$$v$$u$$G$$d(v, u)$$t$$v$$u$$|v u|$ （この定義は任意の測定空間に簡単に拡張できることに注意してください）。

とtを入力として使用する次のアルゴリズムを考えます。$P$$t$

E = empty
for every pair of points (v, u) in ascending order under |vu|
    if the shortest path in (P, E) is more than t times |vu|
        add (v, u) to E
return E

このアルゴリズムは、いわゆる貪欲スパナ（またはパス貪欲スパナ）を計算します。このグラフはかなりの研究の対象となってきました：それは実際にも理論的にも非常に良いスパナを生み出します。

場合、私は貪欲スパナで最長の辺の長さに興味均一に分布している[ 0 、1 ] D（D = 2も同様に微細である場合）。この最大長はせいぜい約1 / √だと思います$P$$[0,1]^d$、潜在的にいくつかのログファクターとファクターがあるd。この推測は実験データによって動機付けられています。$1 / \sqrt{N}$$d$

私が興味を持ったのは、最長のエッジの長さが比較的短い場合、貪欲なスパナをすばやく計算するアルゴリズムがあるためです。上記が正しい場合、私のアルゴリズムは上記のシナリオに適用可能であり、したがって実際に役立つ可能性があることを意味します。

ランダムに分散されたポイントセットのエッジの数と他のタイプのスパナの度合いを分析した論文はいくつか見つかりましたが、最も長いエッジの長さについては何もありませんでした。含まれている確率理論はかなり複雑に思われたので、私は証明を試みる前に何かが知られていることを望んでいました。

貪欲なスパナのディストリビューションセンシティブコンストラクション（ESA 2014で承認）の論文では、次のことを証明します（定理4と補題6の組み合わせ）。

存在するのみに依存するTすべてのためにそのようなC > 0であれば、Pは均一かつ独立にランダムに分布する点の集合であり、$c_t$$t$$c > 0$$P$正方形及びnは十分な大きさであり、次いで確率少なくともと1-NC、貪欲のTに-spannerPは、より長い縁部を有していないC⋅CTログN。$\sqrt{n} \times \sqrt{n}$$n$$1 - n^c$$t$$P$$c \cdot c_t \log n$

私たちの上に結合かなり大きいですが、私たちは束縛「右」であることを実験的証拠持って$c_t$。$\frac{1}{\sqrt[4]{t-1}} \cdot \frac{\log n}{\log \log n}$