連続するポイント間の最小ユークリッド距離が最大になるようにポイントをソートする

3Dデカルト空間内の一連の点を前提として、これらの点を並べ替えるアルゴリズムを探しています。これにより、2つの連続する点間の最小ユークリッド距離が最大化されます。

また、アルゴリズムが、連続するポイント間の平均ユークリッド距離が高くなる傾向がある場合にも有益です。

graph-algorithms cg.comp-geom optimization

— リオール・コーガン
ソース

クロスポスト、モチベーション。

— Jukka Suomela、2011年

ボトルネックTSPの最大化バージョンのように聞こえます。または、最長パス問題のボトルネックバージョン。名前はありますか？

— Jukka Suomela、2011年

gonzalez k-clustering heuristic（貪欲な戦略）を使用することをお勧めします。これを完全に考えずに、2近似を生成する必要があるようです。

— Suresh Venkat、2011年

残念ながら、述べたように、ゴンザレスは良い答えを出しません（ポイント（-100,0）、（99,0）、（100,0）を考慮してください）。たとえば、間違ったポイント（-100,0）から始めると、ひどい答えになります。すべてのポイントからゴンザレスを実行し、最良の答えをとることがうまくいくことはまだ可能です。

— Suresh Venkat、2011年

回答:

ETA：以下はすべて「On the maximum scatter TSP」、Arkin et al、SODA 1997にあります。

正確な答えはわかりませんが、ここでは、SureshのGonzalezクラスタリングの提案とは少し異なる別のアプローチを示します。

$n$ $p$ $n-1$ $d(p,q)$ $p$ $n/2$

$n/2 + 1$ $p$ $d(p,q)$ $2d(p,q)$

これは任意の距離空間で機能し、任意の距離空間で機能するアルゴリズム間で最適な近似比を提供します。たとえば、2倍以内で近似できる場合は、入力グラフをハミルトニアンサイクル問題に縮約することで、グラフエッジごとに距離2、非グラフごとに距離1の距離空間に正確に解くことができます。 -縁。

おそらくいくつかの注意を払って、これをサイクルではなくパスの近似アルゴリズムに組み込むことができます。

— デビッド・エップスタイン
ソース

ユークリッドのケースにPTASがないと信じる理由はありますか？

— Jukka Suomela、2011年

私が知っている理由はありません。しかし、ユークリッドネットワーク設計の問題に対する通常のPTASメソッドは、最大化ではなく、最小化に対してのみ機能します。

— David Eppstein

私が知っている例外の1つは、飛行機でのオリエンテーリングのPTASについてのChenとHar-Peledの論文です。最大化問題です。

— Chandra Chekuri、2011年

この質問に対処するプレプリントをアップロードしました。つまり、ユークリッドの場合の最大分散TSPのPTASを示しています。arxiv.org/abs/1512.02963（ラスズロ・コズマ、トビアスMömke：ユークリッド最大散布TSP用A PTAS）

— ラスズロ・コズマ

この質問に対処するプレプリントをアップロードしました。つまり、ユークリッドの場合の最大分散TSPのPTASを示しています。 http://arxiv.org/abs/1512.02963（LászlóKozma、TobiasMömke ：ユークリッド最大散乱TSPのPTAS）

— ラスロコズマ
ソース