スラックによる次元の削減？

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Johnson-Lindenstraussの補題は、の点のコレクション、マップが存在し、すべての：同様のステートメントはメトリックでは不可能であることが知られていますが、そのような低い値を回避する方法があるかどうかは知られていますより弱い保証を提供することによる限界？たとえば、上記の補題のバージョンがあります $S$ $n$ $\mathbb{R}^d$ $f:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^k$ $k = O(\log n/\epsilon^2)$ $x, y \in S$

(1 - ϵ) | | f (x) - f (y) | |_{2} \leq | | x - y | |_{2} \leq (1 + ϵ) | | f (x) - f (y) | |_{2}

$(1-\epsilon)||f(x)-f(y)||_2 \leq ||x-y||_2 \leq (1+\epsilon)||f(x)-f(y)||_2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{1}

$\ell_1$ ほとんどのポイントの距離を保持することのみを約束するが、いくつかのarbitrarily意的な歪みを残す可能性があるメトリック？「近すぎる」ポイントに対して乗法的保証を行わないものはありますか？

— アーロン・ロス
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このような肯定的な結果の標準的な参照は、安定した分布に関するPiotr Indykの論文です。

http://people.csail.mit.edu/indyk/st-fin.ps

彼はのための次元削減手法を示し（複数倍点の任意の対の間の距離が増加しない一定の確率との距離とは）（因子を超えて減少しない高いと）確率。埋め込みの次元は指数関数になります。 $\ell_1$ $1+\epsilon$ $1-\epsilon$ $1/\epsilon$

おそらく、私が知らないフォローアップ作品があります。

— モリッツ
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$\ell_1$ $\ell_p$

$\ell_1$

— spinxl39
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$\ell_1$ $O(n/\epsilon)$ $O(1/(\delta\epsilon))$ $1-\delta$

— ヤイル
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$\ell_1$ $S$ $c$ $\mathbb{R}^d$ $k$ $c$ $c$ $V$ $\ell_1^d$ $L_1$ $f:\ell_1^d \rightarrow \ell_1^k$ $k = O(\epsilon^{-2}c\log c)$ $x, y \in V$ $(1-\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1 \leq \|x - y\|_1 \leq (1+\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1$ $f$ $S$

ごく最近、WoodruffとSohlerはTalagrandに類似した結果を証明しましたが、JLTと同様にが依存しない分布から選択された線形マッピングであるという追加機能を使用して、行列を選択する必要があります各エントリはiid Cauchyランダム変数です。これは、Indykの安定した予測の精神です。Cauchyは1安定です。 $f$ $S$ $k \times d$

— サショ・ニコロフ
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