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でSODA 1995、ジェフ・エリクソン（一部かどうかをチェック線形充足するための下限を示したの-subset nは実数を満たす上で線形方程式のR変数）。証明方法は、無限小とタルスキーの転送原理を使用します。rrrんnnrrr この束縛を証明するために取られたルートの背後にある直観を誰かが説明できますか？次のような直接的な証明を思い付く際の難しさは何ですか。

10 cg.comp-geom  lower-bounds  algebraic-complexity 

ゾーン定理は、n行の配置を別の行で突き刺した場合、そのゾーンの全体の複雑さ、それに隣接するすべての0、1、および2面のセットはO（n）であると述べています。実際の定数は、少なくともさまざまな教科書で述べられているように、6nのようなものであり、証明は、かなり注意深い充電の引数を用いた帰納法によるものです。 私はこの質問をクラスで尋ねられましたが、答えはありません： ゾーン定理の代替の、より直感的な証明はありますか？ 多くの人が導入は非常に直感的であり、私の含意に気分を害することに気づき、上記を単に「代替」に修正するつもりです。しかし、そのような証拠はありますか？それとも本の証明ですか？

10 cg.comp-geom 

ましょう（正）重み付け縁を有するグラフです。Iノード/サイトのセットのためのボロノイ図を定義するノードに関連付ける、 サブグラフのの厳密に近いすべてのノードによって誘導される内の他のノードに比べて、弧の重みの合計によってパスの長さを測定します。 はのボロノイ領域です。たとえば、以下の緑のノードはにあり、黄色のノードはます。 GGGSSSV ∈ Sv∈Sv \in SR （v ）R（v）R(v)GGGvvvSSSR （v ）R（v）R(v)vvvR （v1）R（v1）R(v_1)R （v2）R（v2）R(v_2) ボロノイ図の構造を理解したい。最初に、2つのサイトとの図はどのように見えますか、つまり、2サイトの二等分線はどのように見えますか（上の例では青）？Iは、二等分線を考えるの補数として における。ここに2つの特定の質問があります：v1v1v_1v2v2v_2B （v1、v2）B（v1、v2）B(v_1,v_2)R （v1）∪ R （V2）R（v1）∪R（v2）R(v_1) \cup R(v_2)GGG Q1。2つのサイトの2等分線は何らかの意味で接続されていますか？ Q2。ある凸面は、内の任意の2つのノード間の最短経路含まれていることを意味においてR （Vに）？R （v ）R（v）R(v)R （v ）R（v）R(v) 確かにこれは以前に研究されています。誰かが参照/ポインタを提供できますか？ありがとう！ Sureshのコメントの補遺：

10 reference-request  graph-theory  cg.comp-geom 

[1]では、Gareyら。ユークリッドTSPのNP完全性を計算する過程で、後で平方根問題の和と呼ばれるものを特定します。 整数a1、 a2、… 、 aんa1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_nおよびLLL与えられると、a1−−√+ a2−−√+ ⋯ + aん−−√&lt; La1+a2+⋯+an&lt;L\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} < L 彼らは、合計をLLLと十分に比較するために平方根の計算に必要な精度の最小桁数が明確でないため、この問題がNPにあることは明らかではないことを認めています。しかし、それらは、アッパーの結合知られている最良の引用ないO （m 2ん）O(m2n)O(m2^n)メートルmm「オリジナルのシンボリック表現の桁数」です。残念ながら、この上限はAM Odlyzkoからの個人的なコミュニケーションにのみ起因します。 誰かがこの上限を適切に参照していますか？または、公開された参照がない場合は、証明または証明スケッチも役立ちます。 注：この限界は、Bernikelらのより一般的な結果の結果として推測された可能性があると思います。al。[2]算術式のより大きなクラスの分離境界に関する2000年頃。私は、より同時期の参照（つまり、1976年頃に知られているもの）や平方根の合計の場合に特化した証明に主に関心があります。 ギャリー、マイケルR.、ロナルドL.グラハム、デビッドS.ジョンソン。「いくつかのNP完全な幾何学的問題。」コンピューティング理論に関する第8回ACMシンポジウムの議事録。ACM、1976。 バーニケル、クリストフ、他。" 部首を含む算術式のための強力で簡単に計算可能な分離。" Algorithmica 27.1（2000）：87-99。

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これが最近傍問題です。 実数（非常に大きいn！）にターゲットの実数pを加え、SUMがpに最も近いa iとa jを見つけます。当社は、合理的な前処理/インデックス許可1、... 、nは（最大Oを（N ログN ））が、（特定のクエリ時にP例えば、（）、結果は非常に速く返されるべきO （ログn個）時間）。a1,…,ana1,…,ana_1, \ldots, a_nnnnpppaiaia_iajaja_jpppa1,…,ana1,…,ana_1, \ldots, a_nO(nlogn)O(nlog⁡n)O(n \log n)pppO(logn)O(log⁡n)O(\log n) （より単純な例：pに最も近いSINGLE だけが必要な場合は、1、… 、a nオフライン、O （n log n ）をソートしてから、クエリ時にバイナリ検索を実行しますO （log n ））。aiaia_ipppa1,…,ana1,…,ana_1, \ldots, a_nO(nlogn)O(nlog⁡n)O(n \log n)O(logn)O(log⁡n)O(\log n) 機能しないソリューション： 1）1、… 、a nをオフラインでソート、次にクエリ時に両端から開始して2つのポインターを内側に移動します（http://bit.ly/1eKHHDy）。O （n ）クエリ時間のため、良くありません。a1,…,ana1,…,ana_1, \ldots, a_nO(n)O(n)O(n) 2）1、… 、a nをオフラインでソートしクエリ時に、各a iを取得して、 pに近いものに合計するのに役立つ「バディ」をバイナリ検索します。O （n log n ）クエリ時間のため、良くありません。a1,…,ana1,…,ana_1, \ldots, a_naiaia_ipppO(nlogn)O(nlog⁡n)O(n …

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ポイントがあるとします。これらはボロノイ図を誘導します。ポイントのそれぞれにラベルを割り当てると、これらはバイナリ関数を誘導します。質問：いくつかの点とこれらの点のいくつかのラベル付けによって引き起こされるすべてのそのような可能なバイナリ関数のVC次元は何ですか？kkk k± R d kRdRd\mathbb{R}^dkkk±±\pmRdRd\mathbb{R}^dkkk

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私は構造工学の分野で働いており、いくつかの固定されたについて、楕円体の凸包による凸体近似（ハウスドルフメトリック）を構築する効率的なアルゴリズムを見つけたいと思います。現在、私は次元2と3でのみ作業しています。KKKんんnんんn 私の最初のアイデアは、単位球上のポイントのサンプルに対して計算できるサポート関数を使用してデュアルスペースで作業し、と近似セットのサポート関数の間の離散誤差を最小限に抑えることでしたノルム。hKhKh_KKKKMMMSdSdS_dhKhKh_Kl∞l∞l^{\infty} 誰かが私に与える別のアイデアや参考文献を持っていますか？このテーマに関連する作品は見つかりませんでした。

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（言語アプリケーションの）混合した支持体/依存関係グラフを描画するアルゴリズムを探しています。このようなグラフには、2種類の頂点（トークン、ノード）と2種類のエッジ（階層型、非階層型）があります。 私は一般にグラフ理論とアルゴリズムに慣れていないので、この質問がこのサイトの研究レベルの要件などと衝突しないことを願っています。ただし、一般的にはcstheoryの範囲内である必要があります。 すべてのトークンは同じy座標で表示される必要があり、トークンをグループ化するノードやノードを構成要素にグループ化するy座標を動的に計算する必要があるため、グラフはボトムアップで描画する必要があります（私はそう思います）。たとえば、トークンへの最長パスを介して。 階層的なエッジ（トークン/ノードを構成要素にグループ化するために使用）には、最小数のベンドポイント（理想的には0）が必要ですが、交差の数も最小である必要があり、必要に応じて前の要件を上書きします。 非階層エッジ（依存関係に使用）には、最小数の交差があり、ベジェ曲線として描画される必要があります。 私が遭遇した次善の事は、ブッフハイム等によって記述されたアルゴリズムです。、ウォーカーのアルゴリズムを線形時間で実行するように改善しました。 私の質問を改善する必要がある場合は、私に知らせてください。ポインタについては、事前に感謝します。 編集： コメントで指摘したように、基本的にはアルゴリズムによるデフォルトのグラフレイアウトが必要であり、長期的にはEclipse GEFの可能性の範囲内で編集および修正する必要があることを述べておきます。以前にGraphvizをGEFで動作させるためのオプションを検討しましたが、GEFから継承されたすべての編集機能を保持する実用的なソリューションはないようです。

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以下の投稿すべてにお詫び申し上げます。元々これを投稿するために間違ったフォーラムを選びました。しかし、これを完全に無駄にするのではなく、質問を真の「理論的コンピューターサイエンス」の問題になるように作り直しました。 問題：凹面の場合もそうでない場合もある単純なポリゴンAの輪郭を形成する、2D平面内の一連のn個の順序付けられた点を取るアルゴリズムを作成し、次のようなm個の点を持つ新しいポリゴンBを作成します。 AのすべてのポイントはB内に含まれます 3 &lt;= m &lt;n Bは、最小の面積を持つすべてのBのセット内のポリゴンです。 Bは単純なポリゴンでなければなりません（つまり、自己交差はありません）。 アルゴリズムへの入力は、ポリゴンAと "m"です。 BのセグメントとAのセグメントの一致は許可されます。 入力と期待される出力の例： Aが正方形でmが3の場合、BはAを含む最小の表面積を持つ三角形になります。 Aが六角形でmが4の場合、BはAを含む最小の表面積を持つ四辺形になります。 この問題を試すすべての人に幸運を。特にソリューションが最適でなければならない今、これが非常に難しいことをお約束します。

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以下のセット系のVC次元を探しています。 宇宙ようにU ⊆ R 3。設定されたシステムでRの各集合S ∈ Rの対応における球にR 3、その結果セットは、Sは、の要素含まUの場合、対応する球体は、それが含まれている場合にのみ、R 3。U={p1,p2,…,pm}U={p1,p2,…,pm}U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}U⊆R3U⊆R3U\subseteq \mathbb{R}^3RR\mathcal{R}S∈RS∈RS\in \mathcal{R}R3R3\mathbb{R}^3SSSUUUR3R3\mathbb{R}^3 私がすでに知っている詳細。 VC次元は少なくとも4です。これは、が四面体の4つのコーナーである場合、Rによって粉砕できるためです。p1,p2,p3,p4p1,p2,p3,p4p_1,p_2,p_3,p_4RR\mathcal{R} VC次元は最大5です。これは、セットシステムを埋め込むことができ、R 3の球がR 4の超平面に対応するためです。R dの超平面はVC次元d + 1を持つことが知られています。R4R4\mathcal{R}^4R3R3\mathcal{R}^3R4R4\mathcal{R}^4RdRd\mathcal{R}^dd+1d+1d+1

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してみましょう単位正方形こと。 βの関数として、Sと交差できる直径が1以上のβ脂肪ペアワイズ領域の最大数はいくつですか？SSSββ\betaββ\betaSSS 以下に、我々はのためにすることを示す図与える、最大数は何のために約7であるβ = 2 、3 、... 、nは？β= 1β=1\beta=1β= 2 、3 、... 、n個β=2、３、…、ん\beta = 2, 3, \ldots, n 平面内の領域の脂肪の定義を思い出してください。領域与えられた場合、半径r 1の円C 1をRに含まれる最大の円とし、半径r 2の円C 2をRを含む最小の円とします。肥満のRは、によって与えられる。R 2RRRC1C1C_1r1r1r_1RRRC2C2C_2r2r2r_2RRRRRR、我々はと言うRがであるβため、-fatβ=R2r2r1r2r1\frac{r_2}{r_1}RRRββ\beta。β= r2r1β=r2r1\beta = \frac{r_2}{r_1} たとえば、場合、領域は単位円であり、互いに重なり合うことなくと重なり合うことができる少なくとも１つの直径を有する７つの円がある。下の図では、単位正方形と、正方形に重なる7つの単位円を示しています。r2= r1=12r2=r1=12r_2 = r_1=\frac{1}{2}SSS

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高次元凸多面体の体積を計算・推定するためのソフトウェアを探しています。具体的には、私は体を扱うことができるプログラム、に興味がの頂点Dパラメータを持つ次元空間として概ね次の有界：D ≤ 50 とN ≤ 1000。面の数は保証されていないことに注意してください。んnndddd≤ 50d≤50d \le 50N ≤ 1000年n≤1000n \le 1000 Jeff Ericksonのページには、255面のハード制限があるプログラムVinci-1.0.5へのリンクがあります。これは実装の制限であり、アルゴリズム自体はおそらくより多くの顔を適切な時間で処理できます。 マルコフチェーンに基づく推定手法の実装は見つかりませんでしたが、効率はさらに悪くなると思います。 上記のパラメータの範囲を処理できるソフトウェア、またはそれをある程度緩和するソフトウェアはありますか？他の参考文献にも感謝します。

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平面のDelaunay三角形分割は、三角形の最小角度を最大化します。球上の点のDelaunay三角形分割についても同じことが当てはまりますか？（ここでの「角度」は、頂点の頂点の周囲の局所角度です）。 Math.SEに関するこの質問に触発されましたが、無関係です。

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機械学習アプリケーションの場合、私のグループは、各（が5から約100の間について、セットの番目の最近傍へのユークリッド距離を計算する必要があります、および数百から数百万まで）。我々は現在、いずれかのブルートフォース使用しているアプローチまたは上のkdツリーとの明白な、あり、高いと比較的低いです勝つことはありません。（すべてがメモリ内にあります。）kkkバツXXx ∈ （X∪ Y）⊂ Rdx∈(X∪Y)⊂Rdx \in (X \cup Y) \subset \mathbb R^dddd| バツ| ≈ | Y||X|≈|Y||X| \approx |Y|O （d| バツ| | バツ∪ Y| ）O(d|X||X∪Y|)O(d \lvert X \rvert \lvert X \cup Y \rvert)バツXXddd|バツ||X||X| ただし、ブルートフォースよりも優れた方法があるはずです。少なくとも、三角形の不等式を利用する方法、または局所性に敏感なハッシュを使用する方法があります。適度にタイトな近似も可能です。 私が見つけることができた研究は、単一の最近傍（またはほぼ最近傍のもの）を見つける問題に焦点を当てているようです。私が探している問題は別の名前でわかりますか、または私が考えていなかった関連する問題への関連はありますか？

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で容量制約施設配置問題（CFLP） 、私たちは、クライアントのセットが指定されているおよび潜在的な施設の集合Fを。各クライアント・J ∈ Cは需要があるのD jを 1つの以上のオープンの施設で提供されなければなりません。各施設I ∈ Fは、開口コスト有するF のI及び容量有するU I施設最大需要であり、iは機能することができるが。施設iのクライアントjの 1単位の需要に対応するコストはc i jです。CCCFFFj∈Cj∈Cj \in Cdjdjd_ji∈Fi∈Fi \in Ffifif_iuiuiu_iiiijjjiiicijcijc_{ij}。施設のサブセットを開き、すべてのクライアントの需要が満たされ、容量の制約に違反せず、施設を開いてクライアントにサービスを提供するための総コストが最小限になるように、クライアントの需要を施設に割り当てたいと考えています。サービスコストは非負で対称的で、三角形の不等式を満たします。 【でアローラ1ページ、21]と述べ「アローラ、ラガワン及びラオ[ 2 ]幾何学的場合についてPTASを与えるが、これらは容量化する場合にアルゴリズムを拡張するが、最終的な溶液は、少量容量制約に違反する可能性があります。」「少量」とはどういう意味ですか？それは、それらが任意のϵ &gt; 0 に対して因数内の容量制約に違反するPTASを与えることを意味すると思います。これは正しいですか？(1+ϵ)(1+ϵ)(1+\epsilon)ϵ&gt;0ϵ&gt;0\epsilon > 0 [ 2 ] を調べたとき、関連する唯一の結果は、静電容量k-中央値問題の（1 + ϵ ）近似解を見つけるための時間アルゴリズムでした。容量が均一です。Aroraは上記の結果を[ 1 ] で参照していますか？nO(log2(n/ϵ))nO(log2⁡(n/ϵ))n^{O(\log^2 (n / \epsilon))}(1+ϵ)(1+ϵ)(1+\epsilon)kkk [ 1 ] S.アローラ。NP困難な幾何学的最適化問題の近似スキーム：調査。数学では。プログラミング、Ser。B、vol。97、43-69頁、2003年。 [ 2 ] S. Arora、P。Raghavan、およびS. Rao。ユークリッドk中央値および関連する問題の近似スキーム。手続き中 コンピューティングの理論に関する第30回ACMシンポジウム、106ページから113ページ、1998年。

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