準線形クエリ時間を使用して、合計が

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これが最近傍問題です。

実数（非常に大きい！）にターゲットの実数加え、SUMが最も近いとを見つけます。当社は、合理的な前処理/インデックス許可（最大）が、（特定のクエリ時に例えば、（）、結果は非常に速く返されるべき時間）。 $a_1, \ldots, a_n$ $n$ $p$ $a_i$ $a_j$ $p$ $a_1, \ldots, a_n$ $O(n \log n)$ $p$ $O(\log n)$

（より単純な例：に最も近いSINGLE だけが必要な場合はオフライン、をソートしてからクエリ時にバイナリ検索を実行します）。 $a_i$ $p$ $a_1, \ldots, a_n$ $O(n \log n)$ $O(\log n)$

機能しないソリューション：

1）オフラインでソート、次にクエリ時に両端から開始して2つのポインターを内側に移動します（http://bit.ly/1eKHHDy）。クエリ時間のため、良くありません。 $a_1, \ldots, a_n$ $O(n)$

2）オフラインでソートしクエリ時に、各を取得して近いものに合計するのに役立つ「バディ」をバイナリ検索します。クエリ時間のため、良くありません。 $a_1, \ldots, a_n$ $a_i$ $p$ $O(n \log n)$

3）すべてのペアオフラインで並べ替え、バイナリ検索を実行します。前処理のため、良くない。 $(a_{1}, \ldots, a_{n})$ $O(n^2)$

ありがとう！

ps。練習に必要なさらなる一般化：（1）およびは50次元ベクトル、（2）「近い」はベクトル余弦距離、（3）最も近いペア-その合計、1だけではありません。 $a_1, \ldots, a_n$ $p$ $k$

ds.algorithms cg.comp-geom ds.data-structures

— ケビン
ソース

前処理時間や前処理後に使用できるスペースに制限はありますか？

空間に制限されている場合、たとえば

時間で解決できると信じる理由はありますか？それは私にはひどくありそうにないようです。

O (n)

$O(n)$

O (\lg n)

$O(\lg n)$

— DW

前処理はO（

log

）に制限されています。問題の説明を更新しました。

n

$n$

n

$n$

— ケビン

クエリが高速であると信じる理由は何もありませんが、最近傍（kdツリー、局所性に敏感なハッシュなど）の多くの有用な結果は、直感に反しているように思えます。局所性に敏感なハッシュを使用した近似解は、実用的には問題ありません。

— ケビン

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これはほぼ確実に不可能です。

$P(n)$ $Q(n)$ $n$ $P(n)+n\cdot Q(n)$ $a_k$ $a_i+a_j$ $-a_k$ $-a_k$

$O(n^2)$ $\Omega(n^2)$ $\Omega(n^2/\text{polylog}\,n)$

したがって、予想が正しいと仮定すると、問題は（ほぼ）2次の前処理時間または（ほぼ）線形のクエリ時間を必要とします。

— ジェフ
ソース

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前処理中に無制限のスペースと無制限の時間を使用できる場合、次のソリューションが要件を満たします。

$\{a_i+a_j:1\le i\le j\le n\}$ $O(n^2)$ $O(n^2)$
$a_i,a_j$ $a_i+a_j$ $p$ $O(\lg n)$

このソリューションが受け入れられない場合は、要件をより注意深く検討し、それに応じて質問を編集する必要があります。

— DW
ソース

こんにちは、ありがとうございます！しかし、あなたの解決策は私の解決策＃3と同じです。これはO（n ^ 2）の前処理時間のために問題があります。私の場合、nは非常に大きく（たとえば、1m）、O（n ^ 2）演算は避けなければなりません。

— ケビン