タグ付けされた質問 「cg.comp-geom」

私はアルゴリズムを見つけるのに苦労したか、自己交差するポリゴン（また、穴構造のあるポリゴン）の三角形分割に関する論文を発表しました。 誰かが私に公開された論文/アルゴリズムを見つけるように案内できますか？ PS：誰かがこの質問に適切にタグを付けてください。私にはそれを行うのに十分な評判ポイントがありません。

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永続的なホモロジーを使用すると、次の3ステップの方法を使用して、点群の（トポロジー）形状を分析できます。 「ノイズ」パラメーターでパラメーター化された点集合を単体の複合体に変換します（これにはいくつかの異なる方法があります）。 この複合体のホモロジーグループを計算します（パラメーターによってパラメーター化されます） パラメータの変化に伴うグループの変化を確認してください。 さまざまなグループの「寿命」は、形状の「バーコード」と呼ばれる間隔の集合のように見えます。 単体の複合体が単に1つのスケルトン（つまり、グラフ）である場合、バーコードがどのように見えるかについての簡単な説明はありますか？言い換えると、（点集合ではなく）グラフから始めて、上記のように残りの2つのステップを実行するとします。

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用、聞かせての頂点の集合であるの方向にスケーリング次元立方体をによって座標番目、すなわち 。d⃗ ∈Nnd→∈Nn\vec{d} \in \mathbb{N}^nQ(d⃗ )⊂NnQ(d→)⊂NnQ(\vec{d}) \subset \mathbb{N}^nnnniiididid_iQ(d⃗ ={⟨±d1,…,±dn⟩}Q(d→={⟨±d1,…,±dn⟩}Q(\vec{d} = \{\langle \pm d_1, \ldots, \pm d_n\rangle\} 次の問題を検討してください。 の点のセットと数与えられた場合、そのセットには長さ次元の算術列が含まれていますか？NnNn\mathbb{N}^nkkknnnkkk より正式には、 入力： 有限集合と正の整数与えられます。 X⊆NnX⊆NnX \subseteq \mathbb{N}^nk∈N+k∈N+k \in \mathbb{N}^+ 質問： あるとよう すべての整数？ → D ∈（N+）N → O +Q（I → D）⊆X0≤I≤Ko⃗ ∈Nno→∈Nn\vec{o}\in \mathbb{N}^nd⃗ ∈ （N+）んd→∈（N+）ん \vec{d} \in (\mathbb{N}^+)^no⃗ + Q （i d⃗ ）⊆ Xo→+Q（私d→）⊆バツ\vec{o}+ …

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点のセット修正します。クエリポイント が到着し、目標は、セットののボロノイセルからランダムに一様にサンプリングされたポイント生成することです。P ⊂ R D Q R Q P ∪ { Q }んnnP⊂ RdP⊂RdP \subset \mathbb{R}^dqqqrrrqqqP∪ { q}P∪{q}P \cup \{q\} この質問では、のボロノイセルは常に有界であると想定できます（たとえば、常に凸包にあります）。q PqqqqqqPPP この問題について何か知っていますか？ いくつかの制約： のボロノイセルから複数のサンプルが必要になる場合があります。これらはIIDでなければなりません。qqq ポイントの前処理は許可されていますが、指数関数的に時間を費やすことはできません。ddd サンプルは、理想的には部分線形および多項式で生成する必要があります。日んnnddd 上記では、ボロノイセルの計算を明示的に除外していることに注意してください。また、リジェクションサンプリングアプローチでは均一なサンプルが生成されますが、効率的に行う方法が明確でないことにも注意してください。

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1つの変数の線形関数はVC次元= 3であり、次数多項式のVC dddはどこかで読んだことを覚えています（ d2+ 3 D+ 2 ）/ 2（d2+３d+2）/2(d^2 + 3d + 2)/2。 上記の主張を証明できるアイデアを探しています（おそらく、多くの変数に一般化しますが、期待するには多すぎるようです）。 どんなアプローチでも、不完全なアプローチであっても認められます。 問題を適切に定義するには：平面（2D、x、y座標）が与えられると、モードdで次数の多項式（y= p （x ）y=p（バツ）y=p(x)）である分類関数を使用できる場合に粉砕できる最大セットのサイズは何ですか、カーブのどちら側にポジティブとしてラベル付けするかを自由に選択できます。ddd たとえば、場合、（x、y）に正のラベルを付けy> x2+ 5 x + 9y>バツ2+5バツ+9y > x^2 +5x +9ます。

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平面内の線の配置の上部エンベロープを計算する簡単なアルゴリズムがあります。たとえば、調査Davenport-Schinzelシーケンスとその幾何学的アプリケーションのセクション2.3を参照してください 。 同じ問題の動的バージョンの既知のアルゴリズム/データ構造はありますか？つまり、次の操作で平面内の一連の線の上部エンベロープを維持したいとします。 挿入）：セットに行を追加しますℓ（ℓ(ℓ(\ellℓℓ\ell 削除：セットから行を削除しますℓ(ℓ)(ℓ)(\ell)ℓℓ\ell query：上部エンベロープに座標を持つラインを返します。つまり、点から垂直方向の下向きの光線が最初に当たるセットの線を返します。x （x 、∞ ）(x)(x)(x)xxx(x,∞)(x,∞)(x, \infty)

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切断補題（別名セル分解補題）は、平面に本の線が与えられた、任意の領域（三角形でもに分割できるため、リージョンはラインと交差しています。詳細については、たとえばMatousekの著書「離散幾何学に関する講義」またはこの投稿を参照してください。んんnO （r2）O（r2）O(r^2)1つの≤ R ≤ N1≤r≤ん1\le r\le nO （n / r ）O（ん/r）O(n/r) 私の質問は、任意の領域の内部が元の線のと交差するように、平面を線で（領域に）分割できるかどうかです。O （r ）O（r）O(r)O （r2）O（r2）O(r^2)O （n / r ）O（ん/r）O(n/r)

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編集：質問の精神は良かったと思いますが、改善する必要があります。コインのトスに対して行われた仮定はその問題を些細なものにしており、サイコロはまだ十分に正確に定義されていません。 質問を扱いやすくするが自明ではないサイコロについて、私たちができる合理的な仮定は何ですか？これ以上の議論のための最良の場所はおそらくチャットです。 この質問は、スーパーマリオギャラクシー（SMG）問題に触発され、密接に関連しています。 マリオが惑星の表面を歩いているとします。彼が既知の場所から一定の方向に所定の距離を歩き始めた場合、彼がどこで停止するかをどのくらい早く判断できますか？ 最初のパスとして、質問をできるだけ単純化したいと思います。 質問1 コインヘッドを上向きにして開始し、初期トルクで投げ、時間t後にもう一度キャッチするとします。コインが表と裏のどちらに着地するかをどのくらい早く判断できますか？TTTttt より正確には、コインは高さがほぼ0の円柱です（半径に比べて無視できます）。コインは一定の角速度で一定の角度で一定時間回転します。その期間の終わりに、時間と空間を凍結し、コインの位置を調べます。これは、コインを「キャッチ」することを意味します。3つの可能性があります。コインは正確に垂直で、薄いエッジは正確に上を向いています。現時点では、この可能性を無視します。したがって、コインを上から見ると、表側または裏側が見えます。この瞬間、上から見える側がトスの価値です。 初期のトルクと時間は、マリオが一定の方向に一定の方向に歩くのに似ています。違いは、ポリトープの表面に沿ってある程度距離を歩くのではなく、一定数のラジアンで空間内を自由に回転できるようにすることです。 質問0 コインが固定軸を中心に回転する場合、トス（上から見たコインの側面）の値は周期的ですか？上記の問題を定義したように、コインは必ず固定軸を中心に回転するのでしょうか、それとも予想外に回転するのでしょうか？ SMGの問題と同様に、コインをめくるときに、各面を明示的に「ウォーク」するよりも賢い方法を実行します。この非常に単純化された問題のバージョンでは、コインフリップが周期的であるため、これは可能であると思います。 2番目の質問では、元の問題のささいな制限を検討します。 質問2 sssTTT ダイについては、いくつかの単純化した仮定を行う必要があります。そうしないと、これは物理的なモデリングの問題になります。とりあえず、コインを投げるようにサイコロを振ったとしましょう。それを投げて、最初の回転を与え、しばらくしてからもう一度キャッチします。表を上にした側がトスの価値です。 PPP 質問3 通常のサイコロの場合でも、上向きの顔のシーケンスが周期的であることはわかりませんが、サイコロを周期的なシーケンスで近似し、結果の「最良の推測」を予想よりも早く得ることができます。元の問題を解決しますか？答えは明らかにイエスだと思いますが、見積もりの​​質と実行時間の改善の間のトレードオフは何ですか？ 問題4 ここで、ダイに重みが付けられており、その速度が現在の面に依存していると仮定します。元のSMG問題の用語では、これは、マリオが歩く速度が、マリオが現在いる面に依存することを意味します。おそらく、惑星の一部は、他の部分よりも起伏の多い地形を持っています。

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2次元ユークリッド空間の点のセットに対して以下の操作を提供するデータ構造の最もよく知られている結果は何ですか？ insert(x)insert(x)insert(x) delete(x)delete(x)delete(x) nearest(k,x)nearest(k,x)nearest(k,x)（は0より大きい整数）は、セット内の最も近い点を返します。kkkkkkxxx この特定のケースでは、近似最近傍、モンテカルロアルゴリズム、またはデータが何らかの形で整形式であることを前提とするアルゴリズムには特に興味がありません。 私はラスベガスのアルゴリズム、ポイントの座標がビットであると仮定するアルゴリズム、または依存する実行時間のあるアルゴリズムに対して偏見はありません。O(lgn)O(lg⁡n)O(\lg n)kkk

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-net範囲空間のの部分集合であるのように、すべてのための空でように。（X 、R）N X N ∩ R R ∈ R | X ∩ R | ≥ ε | X |εε\varepsilon（X、R）（バツ、R）(X,\mathcal{R})NNNバツバツXN∩RN∩RN\cap RR∈RR∈RR\in \mathcal{R}|X∩R|≥ε|X||バツ∩R|≥ε|バツ||X\cap R| \ge \varepsilon |X| レンジ空間所与の VC次元の、 -netサイズのは時間内に計算できます（[1]、Thm 4.6を参照）。D ε O （D(X,R)（バツ、R）(X,R)dddεε\varepsilonO（d）3d（1O （dεログ（dε））O（dεログ⁡（dε））O\left(\frac{d}{\varepsilon}\log\left(\frac{d}{\varepsilon}\right)\right)O （d）3 D（1ε2ログ（dε））d| バツ|O(d)3d(1ε2log⁡(dε))d|X|O(d)^{3d}\left(\frac{1}{\varepsilon^2}\log\left(\frac{d}{\varepsilon}\right)\right)^d|X| この問題に固有の項はどの程度ですか？具体的には、改善できますか？既知の下限はありますか？ 2 O （d ）O （d）3 DO(d)3dO(d)^{3d}2O （d）2O(d)2^{O(d)} 関連する質問：このような改善が存在することが知られている一般的な条件はありますか？（X、R）(X,R）(X,R) [1]バーナード・シャゼル。不一致法。2000年

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これは入門的な計算ジオメトリの質問であると思いますが、最適な検索フレーズがわからないので、質問のバリエーションにも興味があるので、役に立つ参照へのポインタを期待しています。次の問題の実行可能なアルゴリズムに興味があります。 入力：の点（形状）の接続されたセット。 出力：形状が長方形に分割されます。長方形は互いに重なり合わず、形状のみをカバーし、「空の」スペースはカバーしません。Z×ZZ×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} 私は、この問題が形状の異なるクラスでより簡単にまたはより難しくなるかどうかに関係なく、長方形の最小数、つまり最良の概念の「最良の」長方形のセットを見つけることに興味があります。 ありがとうございました。:-)

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これは、MathOverflowからのクロスポストです。 単体の面格子（非公式には、面の集合）が多面体であるかどうかをテストする問題は、シュタイニッツ問題と呼ばれることがあります。 SturmfelsとBokowski は、80年代後半に、単体球の面格子もポリトープとして実現可能かどうかをテストするための一連の方法を進めました。 この方法では、方向性のあるマトロイドを使用します。問題はNP困難であるため、最悪の場合、アルゴリズムには指数関数的な時間が必要になりますが、アルゴリズムがすぐに収束することが多いと報告されています。Lars Scheweは最近、最適化されたSATソルバーを利用するために同じ方法を適応できることを示しましたが、基本的な手法は同じようです。 SturmfelsとBokowskiが結果を発表してから数十年の間に新しいアプローチが開発されたのかどうか、私は興味があります。彼らの方法はまだ最先端技術ですか？さらに、この問題を解決するために利用可能なソフトウェア実装はありますか-古いアプローチを使用して？ MathOverflowのディスカッションで、Joe O'Rourkeは、Polymakeが単体の複合体の幾何学的実現[GEOMETRIC_REALIZATION]を計算するように見える機能を持っていることを指摘しましたが、これは私が知る限り、多相性を保証するものではありません。

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私たちの研究グループでは、逆照明問題へのヒューリスティック手法の適用に取り組んでいます（つまり、シーン内の照明条件に関する一連の制約が与えられた場合、光源を配置する必要がある場所とその強度を見つけます制約を満たし、コストを最小化するために）。私たちは、問題がNP困難であることを証明することにより、ヒューリスティック手法の使用を正当化したいと考えています。これは、「線形方程式の最小重み解」（MWSLE）と完全に関連していることを発見しました。 「コンピュータと扱いにくさ」、特に光源エミッタンスが負になり得ない場合、線形方程式系の解は負でない値によってのみ形成されなければならないという特殊性があります。要約すると、問題は次のとおりです。 線形方程式に対する最小重量の正解。 インスタンス：ペアの有限セット、ここで は非負整数のmタプルであり、は非負整数であり、正の整数。XXX→ X B K ≤ M(x⃗ ,b)(x→,b)(\vec{x},b)x⃗ x→\vec{x}bbbK≤mK≤mK \leq m 質問：が最大で非ゼロエントリを持ち、ような非負の有理エントリのmタプルありますか？すべての？→ Y K → X ⋅ → Y =B（ → X、B）∈Xy⃗ y→\vec{y}y⃗ y→\vec{y}KKKx⃗ ⋅y⃗ =bx→⋅y→=b\vec{x} \cdot \vec{y}=b（x⃗ 、B ）∈ X（バツ→、b）∈バツ(\vec{x},b)\in X ガーベイとジョンソンは、MWSLEのNP完全性は「3セットによる正確なカバーリング」問題から証明できると述べていますが、詳細については触れていません。3セットによる正確なカバーは、ハイパーグラフG =（V、E）への完全なマッチング問題の自然な一般化であり、すべてのエッジe∈Eは（2ではなく）3つの頂点を含み、| V |です。は3で割り切れる。問題は、各頂点が選択されたハイパーエッジの1つにのみ入射するように、ハイパーエッジのサブセットを見つけることである。 制限された問題がまだNP完全であることを証明しようとしていますが、その方法がわかりません。手がかりはありますか？ 前もって感謝します エステベ

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次のように構築された範囲空間のVC次元を知りたい：（X、R）(X,R)(X,\mathcal{R}) { （X 、Y 、Z ）∈ R 3 | X 2 + Y 2 ≤ 1 }バツXXは円柱 { （x 、y、z）∈ R３| バツ2+ y2≤ 1 }{(x,y,z)∈R3|x2+y2≤1}\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2\leq 1\} の範囲は、次のような円形ディスクの結合をとることによって形成されます。 RR\mathcal{R} ディスクを含む平面はz軸に直交します（ディスクをz方向に「スタック」します） ディスクは点で円柱の境界に接しています（1 、0 、Z）(1,0,z)(1,0,z) ディスクの直径はで、はによって（厳密に）制限され、厳密に単調増加、厳密に単調減少、または定数になります。f （z ）− 1 &lt; f （z ）&lt; 1f（z）+ 1f(z)+1f(z)+1f（z）f(z)f(z)−1&lt;f(z)&lt;1−1&lt;f(z)&lt;1-1<f(z)<1 これらの範囲の1つをz軸を中心に任意の角度で回転させて作成されたセットも範囲です。 直感的に、一連のコイン（もちろん、円形）を受け取り、直径で並べ替える場合を想像してください。次に、それらを順番に慎重にチューブ（メインシリンダー）にドロップします。次に、チューブを少し傾けて、すべてがシリンダーの側面に当たるようにします。コインの厚さがゼロで、実数ごとに1つある場合、これが範囲になります。 エラー関数やように、がシグモイドである場合に最も関心があります。具体的には、関数のファミリーによって形成される円筒形の範囲に興味があります。ここで、です。TANH TANH （α （Z - β …

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