多次元算術進行バリアント

用、聞かせての頂点の集合であるの方向にスケーリング次元立方体をによって座標番目、すなわち。 $\vec{d} \in \mathbb{N}^n$ $Q(\vec{d}) \subset \mathbb{N}^n$ $n$ $i$ $d_i$ $Q(\vec{d} = \{\langle \pm d_1, \ldots, \pm d_n\rangle\}$

次の問題を検討してください。

の点のセットと数与えられた場合、そのセットには長さ次元の算術列が含まれていますか？ $\mathbb{N}^n$ $k$ $n$ $k$

より正式には、

入力：
有限集合と正の整数与えられます。 $X \subseteq \mathbb{N}^n$ $k \in \mathbb{N}^+$

質問：
あるとようすべての整数？ $\vec{o}\in \mathbb{N}^n$ $\vec{d} \in (\mathbb{N}^+)^n$ $\vec{o}+ Q(i\vec{d})\subseteq X$ $0 \leq i \leq k$

非公式に、を中心とする、スケーリングされた次元の軸に整列した立方体の頂点の包含を調べています。 $n$ $\vec{o}$

この問題に名前はありますか？その複雑さは何ですか？動的プログラミングを使用して解決できますか？

— マルツィオデビアシ
ソース

NPの完全性を証明するこのエキスパートがcstheory.SEにいます：あなたは彼に尋ねるべきです。彼の名前はマルツィオです。

— Suresh Venkat 2014

@SureshVenkat：私はすでに彼に質問しましたが、彼はこの数週間は少し「故障」しているようです:-)

— Marzio De Biasi

次の簡単なアルゴリズムが機能しない理由：すべての選択肢列挙し、各について、すべてのおよびすべての点を列挙ししたらすぐに次の移動属さないが見つかりました。があります選択、およびそれぞれに対して最大でポイントを列挙するため、これは2次時間アルゴリズムです。暗黙のうちに指定されているを覚えているかもしれませんか？

a_{0} \in X

$a_0 \in X$

a_{0}

$a_0$

i

$i$

Q_{i} (a_{0})

$Q_i(a_0)$

a_{0}

$a_0$

a \in Q_{i} (a_{0})

$a \in Q_i(a_0)$

X

$X$

| X |

$|X|$

a_{0}

$a_0$

| X | + 1

$|X|+1$

X

$X$

— Sasho Nikolov 2014

@SashoNikolov：そうです、が明示的に指定されている場合（そしてボックスの側面が軸揃えされている場合）の解は取るに足らないものです。コメントを回答に変換できます。それを受け入れます！

X

$X$

— Marzio De Biasi 2014年

@Sasho： 2つの頂点間のすべての距離をチェックするだけで十分なので、入力では最大で、多項式です。Marzioへ：が簡潔な場合、状況はどうなりますか？多分それはあなたが何を求めているのか私たちに理解させるでしょう...

X

$X$

| X |^{2}

$|X|^2$

X

$X$

n = 1

$n=1$

— domotorp '

Terence TaoとVan Vuによる本のAdditive Combinatoricsは、算術シーケンスを数学的な観点から詳しく説明しています。これらは、セットさまざまな条件下での算術シーケンスの存在を確立します。 $X$

例：ゼメレディ定理

ラティス内のサブセットが正の「密度」である場合、任意の長さの無限に多くの算術的進行があります。

d e ん s 私 t y （ E ） = \underset{N \to \infty}{lim sup} \frac{| E \cap [1 、 N] |}{N} \geq 0

$\displaystyle \mathrm{density}(E) = \limsup_{N \to \infty} \frac{|E \cap [1,N]| }{N} \geq 0$

ましょう正の上側密度の集合、その後非自明有する -term等差数列です。 $E \subseteq \mathbb{N}$ $E$ $k$

注意を向けるのではなく、さまざまなパターンで配置されたベクトルを探すことを完全に想像することができます。 $\mathbb{Z}$

この本は、非常に技術的なフーリエ分析と確率を簡略化し、技術的でないフーリエ理論と確率に置き換えます。😐強力な数学をより具体的な問題に役立つ補助定理と定理に分解します。😃

例確率を持つランダムセットを考えます。等間隔に配置された3つの数値要素は、確率で内部で選択されるため、ランダムセットで多くの算術的な進行が期待できます。 $E \subset [1,N]$ $\mathbb{P}[k \in E] = \frac{1}{2}$ $a, a+d, a+2d \in \mathbb{N}$ $E$ $\frac{1}{8}$ $E$

もう1つの極端な方法は、床関数。これは、あなたが得ることができるのとほぼ同じように「順序付け」されており、任意の長さの多くの算術的な進行も行われます。 $\{[n \sqrt{7}] : n \in \mathbb{Z}\} = \{ [ 0, 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 21, 23,\dots \}$

次に、それらが意味するアルゴリズムの実行時の側面を検討するのはあなた次第です。算術シーケンスが存在することがわかっていても、素数または平方根のない数で算術シーケンスを見つけるのは必ずしも容易ではない場合があります。

— ジョン・マンガル
ソース