ポイントのボロノイセルからのサンプリング

点のセット修正します。クエリポイント が到着し、目標は、セットののボロノイセルからランダムに一様にサンプリングされたポイント生成することです。P ⊂ R D Q R Q P ∪ { Q $n$$P \subset \mathbb{R}^d$$q$$r$$q$$P \cup \{q\}$

この質問では、のボロノイセルは常に有界であると想定できます（たとえば、常に凸包にあります）。q $q$$q$$P$

この問題について何か知っていますか？

いくつかの制約：

• のボロノイセルから複数のサンプルが必要になる場合があります。これらはIIDでなければなりません。$q$
• ポイントの前処理は許可されていますが、指数関数的に時間を費やすことはできません。$d$
• サンプルは、理想的には部分線形および多項式で生成する必要があります。$n$$d$

上記では、ボロノイセルの計算を明示的に除外していることに注意してください。また、リジェクションサンプリングアプローチでは均一なサンプルが生成されますが、効率的に行う方法が明確でないことにも注意してください。

コメントには短すぎます...以下は直感的なbla bla blaであり、自由に購入しないでください。

それは非常にありそうにないようです-ポイントが均一に分布していると仮定すると、のセルの近傍の数は2 dになります$q$$2^d$。これはおそらくより正式な議論です。単位超球上の点のセットを選択して、任意の2点間の角度が少なくとも80度になるようにします。次元が十分に大きければ、あまり努力することなく、球上のそのようなポイントの指数関数的な数を選択できることがわかっています。これで、直感的に、半分のポイントのサブセットでは、球の中心のボロノイセルのボリュームは、すべてのポイントのセルボリュームと比較してほぼ2倍になります。これは、最初からすべてのポイントを調べて適切なボリュームの見積もりを取得する必要があることを意味します。問題は多項的に同等であるように見えるので、これもまた直感的に、均一にサンプリングすることが不可能になることを暗示しているようです...