次数dの多項式（1つの変数）のVC次元

1つの変数の線形関数はVC次元= 3であり、次数多項式のVC $d$ はどこかで読んだことを覚えています $(d^2 + 3d + 2)/2$ 。

上記の主張を証明できるアイデアを探しています（おそらく、多くの変数に一般化しますが、期待するには多すぎるようです）。

どんなアプローチでも、不完全なアプローチであっても認められます。

問題を適切に定義するには：平面（2D、x、y座標）が与えられると、モードで次数の多項式（ $y=p(x)$ ）である分類関数を使用できる場合に粉砕できる最大セットのサイズは何ですか、カーブのどちら側にポジティブとしてラベル付けするかを自由に選択できます。 $d$

たとえば、場合、（x、y）に正のラベルを付け $y > x^2 +5x +9$ ます。

cg.comp-geom vc-dimension

— カラン
ソース

私はその地域で働いていませんが、質問を理解したいと思います。これらの機能のドメインと範囲は何ですか？1つの変数の線形関数がどのようにVC次元3を持つかを少し説明できますか？

— Robin Kothari

不等式のように表すことができる範囲によって定義される範囲スペース：文が良好と言い換えるれる

、F（x）は線形関数であるVC寸法3（この範囲スペースが半分の範囲の空間であるためであるを有します2Dのスペース）

f (x) \leq 0

$f(x) \le 0$

— Suresh Venkat 2012年

@Suresh：説明してくれてありがとう。あなたの答えから私は一般的な質問は度-dで定義された範囲のスペース（代わりに線形の）機能のVC寸法は何かということです尋ね推測

どこ

、代わりの

。

f (x) \leq 0

$f(x) \leq 0$

x \in R^{n}

$x \in \mathbb{R}^n$

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

— Robin Kothari、2012年

回答:

基本的な方法は次のように機能します。不等式が次の形式であると仮定します

\sum_{i \leq d} a_{i} x^{i} \leq 0

$\sum_{i \le d} a_i x^i \le 0$

次に、各単項式が1つの次元に対応する高次元の空間にリフティングマップを作成します。これで、多項式を新しい次元の線形結合として表すことができ、結果のスペースの半分のスペースに対して通常の結果を呼び出すことができます。

私はあなたがどこからあなたの限界を得るのかわかりません：次数Dのd変数の多項式のVC次元の正しい式は、これはd変数から形成される最大でDの単項式の数です。 $\binom{d + D}{d}$

— Suresh Venkat
ソース

正しい。しかし、OPは変数がいくつあるかについては言いませんでした。

— Suresh Venkat 2012年

私の不等式には、yとxの多項式が関係しています。問題をより正確に定義することを期待して、問題にいくつかの変更を加えました。

— Karan、

そしてacc。私が述べた問題に対して、xの二次関数は少なくとも4ポイント（私が見ることができる）を粉砕し、私が与えた式に、それは6ポイントを粉砕するはずです！（それが成立するかどうかはわかりません）

— Karan、

式は上限です。

— Suresh Venkat 2012年

あなたの修正された問題では、答えはD + 1です

— Suresh Venkat

以下は、Jiri MatousekのGeometric Discrepancy ブックに基づいています。

次のように、パラメーター化され範囲空間を定義します。してみましょう度も多項式で変数。毎、集合として定義される $\mathbb{R}^d$ $a_1, \ldots, a_p$ $f$ $D$ $d + p$ $a \in \mathbb{R}^p$ $S(a)$ $S(a) = \{x \in \mathbb{R}^d: f(x, a) \leq 0\}$ 。例えば、円は次のように定義されている。 $(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 - 1 \leq 0$

このモデルでは、VCディメンションよりもデリケートな数量の制限を取得できます。定義の最大数として異なることによって誘発される集合の任意のセットに点、すなわち、ここで、最大値はポイントのセットに適用されます。これは $\pi(m)$ $\{S(a)\}$ $m$

π （ メートル ） = \underset{バツ \subseteq R^{d}}{最高} | {S （ a ） \cap バツ} | 、

$\pi(m) = \max_{X \subseteq \mathbb{R}^d}{|\{S(a) \cap X\}|},$

X

$X$

m

$m$ プライマル粉々機能範囲空間の

。範囲の空間ののVC-寸法がその最大値であることを通知

ように

。また、範囲空間のVC次元が

場合、その粉砕関数は

によって制限されます。

{S (a)}

$\{S(a)\}$

m

$m$

π (m) = 2^{m}

$\pi(m) = 2^m$

k

$k$

O (m^{k})

$O(m^k)$

$m$ $f_1(a), \ldots, f_m(a)$ $\sigma = (\sigma_1, \ldots, \sigma_m) \in \{-, +\}^m$ $a$ $i$ $f_i(a)$ $\sigma_i$ $m$ $D$ $p$ $2^{O(p)}(Dm/p)^p$

$f_i(a) = f(x^i, a)$ $|\{S(a) \cap X\}|$ $f_1, \ldots, f_m$ $p$ $O(m^p)$

— サショニコロフ
ソース