円柱内の円柱のVC次元

次のように構築された範囲空間のVC次元を知りたい：$(X,\mathcal{R})$

1. { （X 、Y 、Z ）∈ R 3 | X 2 + Y 2 ≤ 1 $X$は円柱 $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2\leq 1\}$
2. の範囲は、次のような円形ディスクの結合をとることによって形成されます。 $\mathcal{R}$
   • ディスクを含む平面はz軸に直交します（ディスクをz方向に「スタック」します）
   • ディスクは点で円柱の境界に接しています$(1,0,z)$
   • ディスクの直径はで、はによって（厳密に）制限され、厳密に単調増加、厳密に単調減少、または定数になります。f （z ）− 1 < f （z ）< $f(z)+1$$f(z)$$-1<f(z)<1$
3. これらの範囲の1つをz軸を中心に任意の角度で回転させて作成されたセットも範囲です。

直感的に、一連のコイン（もちろん、円形）を受け取り、直径で並べ替える場合を想像してください。次に、それらを順番に慎重にチューブ（メインシリンダー）にドロップします。次に、チューブを少し傾けて、すべてがシリンダーの側面に当たるようにします。コインの厚さがゼロで、実数ごとに1つある場合、これが範囲になります。

エラー関数やように、がシグモイドである場合に最も関心があります。具体的には、関数のファミリーによって形成される円筒形の範囲に興味があります。ここで、です。TANH TANH （α （Z - β ））α 、β ∈ $f(z)$$\tanh$$\tanh(\alpha(z-\beta))$$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$

この範囲空間には少なくとも VC-dim 4 があることを知っています（4つのポイントのセットを構築できます）。これに上限を設定し、その理由を理解することに興味があります。そんなこと知ってる：

1. 円形ディスクにはVC-dim 3があります$\mathbb{R}^2$
2. ストリップ、によって上下に区切られている場合、少なくともVC-dimがあります3、おそらく3に等しい。関数の傾斜部分が直線のように機能するため TANH （α （Z - β ））$\{-1\leq y\leq 1\}\subset\mathbb{R}^2$$\tanh(\alpha(z-\beta))$$\tanh$

これらの事実を組み合わせてVCディメンションの上限を取得する方法はありますか？（2）の基準を満たす一般的なについて言うことはありますか？$f(z)$

VC次元が有限でためには、のシグモイド制限が必要です。それ以外の場合は、階段のように動作させ、任意の数のステップを使用できます。次に、これらの階段は任意に多くの交差点を持つことができます。これにより、範囲で異なるサブセットを許可できます。 f n 2 $f$$f$$n$$2^n$

場合多項式であり、その後、（多項式（2）ディスクを説明する程度と組み合わさ）多項式の次数を使用してVC-寸法を結合することができます。しかし、このタイプの結果をに適用する方法がわかりません。$f(z)$$\tanh$