「線形方程式の最小重みの解」の特定のケースは、まだNP完全ですか？

私たちの研究グループでは、逆照明問題へのヒューリスティック手法の適用に取り組んでいます（つまり、シーン内の照明条件に関する一連の制約が与えられた場合、光源を配置する必要がある場所とその強度を見つけます制約を満たし、コストを最小化するために）。私たちは、問題がNP困難であることを証明することにより、ヒューリスティック手法の使用を正当化したいと考えています。これは、「線形方程式の最小重み解」（MWSLE）と完全に関連していることを発見しました。 「コンピュータと扱いにくさ」、特に光源エミッタンスが負になり得ない場合、線形方程式系の解は負でない値によってのみ形成されなければならないという特殊性があります。要約すると、問題は次のとおりです。

線形方程式に対する最小重量の正解。

インスタンス：ペアの有限セット、ここで は非負整数のmタプルであり、は非負整数であり、正の整数。$X$→ X B K ≤ $(\vec{x},b)$$\vec{x}$$b$$K \leq m$

質問：が最大で非ゼロエントリを持ち、ような非負の有理エントリのmタプルありますか？すべての？→ Y K → X ⋅ → Y =B（ → X、B）∈$\vec{y}$$\vec{y}$$K$$\vec{x} \cdot \vec{y}=b$$(\vec{x},b)\in X$

ガーベイとジョンソンは、MWSLEのNP完全性は「3セットによる正確なカバーリング」問題から証明できると述べていますが、詳細については触れていません。3セットによる正確なカバーは、ハイパーグラフG =（V、E）への完全なマッチング問題の自然な一般化であり、すべてのエッジe∈Eは（2ではなく）3つの頂点を含み、| V |です。は3で割り切れる。問題は、各頂点が選択されたハイパーエッジの1つにのみ入射するように、ハイパーエッジのサブセットを見つけることである。

制限された問題がまだNP完全であることを証明しようとしていますが、その方法がわかりません。手がかりはありますか？

前もって感謝します

エステベ

これがNP硬さ証明のスケッチです。3セットによって正確なカバーがハイパーグラフに完全マッチング問題の自然な一般化であり、すべてのエッジとE ∈ E 3つの頂点（代わりに2）とを含みます| V | は3で割り切れる。問題は、各頂点が選択されたハイパーエッジの1つだけに入射するように、ハイパーエッジのサブセットを見つけることである。ましょX eはそれぞれhyperedgeのための0/1変数であるEが使用されているか否かを示します。明らかに連立方程式$G=(V,E)$$e \in E$$|V|$$x_e$$e$

$\sum_{e \in E : v \in e} x_e = 1$$v \in V$

$|V|/3$$G$ $G$