ダイロール問題

編集：質問の精神は良かったと思いますが、改善する必要があります。コインのトスに対して行われた仮定はその問題を些細なものにしており、サイコロはまだ十分に正確に定義されていません。

質問を扱いやすくするが自明ではないサイコロについて、私たちができる合理的な仮定は何ですか？これ以上の議論のための最良の場所はおそらくチャットです。

この質問は、スーパーマリオギャラクシー（SMG）問題に触発され、密接に関連しています。

マリオが惑星の表面を歩いているとします。彼が既知の場所から一定の方向に所定の距離を歩き始めた場合、彼がどこで停止するかをどのくらい早く判断できますか？

最初のパスとして、質問をできるだけ単純化したいと思います。

質問1

コインヘッドを上向きにして開始し、初期トルクで投げ、時間t後にもう一度キャッチするとします。コインが表と裏のどちらに着地するかをどのくらい早く判断できますか？$T$$t$

より正確には、コインは高さがほぼ0の円柱です（半径に比べて無視できます）。コインは一定の角速度で一定の角度で一定時間回転します。その期間の終わりに、時間と空間を凍結し、コインの位置を調べます。これは、コインを「キャッチ」することを意味します。3つの可能性があります。コインは正確に垂直で、薄いエッジは正確に上を向いています。現時点では、この可能性を無視します。したがって、コインを上から見ると、表側または裏側が見えます。この瞬間、上から見える側がトスの価値です。

初期のトルクと時間は、マリオが一定の方向に一定の方向に歩くのに似ています。違いは、ポリトープの表面に沿ってある程度距離を歩くのではなく、一定数のラジアンで空間内を自由に回転できるようにすることです。

質問0

コインが固定軸を中心に回転する場合、トス（上から見たコインの側面）の値は周期的ですか？上記の問題を定義したように、コインは必ず固定軸を中心に回転するのでしょうか、それとも予想外に回転するのでしょうか？

SMGの問題と同様に、コインをめくるときに、各面を明示的に「ウォーク」するよりも賢い方法を実行します。この非常に単純化された問題のバージョンでは、コインフリップが周期的であるため、これは可能であると思います。

2番目の質問では、元の問題のささいな制限を検討します。

質問2

$s$$T$

ダイについては、いくつかの単純化した仮定を行う必要があります。そうしないと、これは物理的なモデリングの問題になります。とりあえず、コインを投げるようにサイコロを振ったとしましょう。それを投げて、最初の回転を与え、しばらくしてからもう一度キャッチします。表を上にした側がトスの価値です。

$P$

質問3

通常のサイコロの場合でも、上向きの顔のシーケンスが周期的であることはわかりませんが、サイコロを周期的なシーケンスで近似し、結果の「最良の推測」を予想よりも早く得ることができます。元の問題を解決しますか？答えは明らかにイエスだと思いますが、見積もりの​​質と実行時間の改善の間のトレードオフは何ですか？

問題4

ここで、ダイに重みが付けられており、その速度が現在の面に依存していると仮定します。元のSMG問題の用語では、これは、マリオが歩く速度が、マリオが現在いる面に依存することを意味します。おそらく、惑星の一部は、他の部分よりも起伏の多い地形を持っています。

まず第一に、あなたはおそらくトルクではなく角度インパルスを意味すると思います。（インパルスは、短時間に加えられたトルクの合計効果として見ることができます。）エアドラッグなどを無視すると、COMフレーム内のリジッドボディ（特にコインやキューブ）の動きは非常に大きくなります。シンプル-一定の角速度で回転します。

$\omega t$$-\omega t$

この問題はSMG問題の良いモデルであるとは言えません。SMGでは表面上に一定の速度で移動する点があるため、ここでは全身が一定の角速度で回転するため、この問題は非常に単純になります。 。