グラフのバーコード

永続的なホモロジーを使用すると、次の3ステップの方法を使用して、点群の（トポロジー）形状を分析できます。

• 「ノイズ」パラメーターでパラメーター化された点集合を単体の複合体に変換します（これにはいくつかの異なる方法があります）。
• この複合体のホモロジーグループを計算します（パラメーターによってパラメーター化されます）
• パラメータの変化に伴うグループの変化を確認してください。

さまざまなグループの「寿命」は、形状の「バーコード」と呼ばれる間隔の集合のように見えます。

単体の複合体が単に1つのスケルトン（つまり、グラフ）である場合、バーコードがどのように見えるかについての簡単な説明はありますか？言い換えると、（点集合ではなく）グラフから始めて、上記のように残りの2つのステップを実行するとします。

Betti-0は、頂点ごとに1つの間隔になり、関連する間隔の1つは、エッジが2つのコンポーネントを接続するたびに消えます。これは、グラフで実行されているUnion-Findのトレースに非常に似ています。

Betti-1は、必須の閉ループごとに1つの間隔になります。Cycle Spaceの実行中の更新された基準に対応します。これはグラフであるため、2つの独立したコンポーネントを接続せず、再び消えることのないエッジが追加されると表示されます。

グラフはすでに0と1のシンプレックス（ノードとエッジ）で構成される単体の複合体です。バーコード表現が意味を持つのは、ステップkでの複合体がステップk + 1での複合体のサブセット、つまり頂点とエッジが何らかの順序でそこに挿入されるように、単体の複合体が段階的に構築される場合のみです。

頂点が「時間」/「パラメーター値」0で追加され、すべてのエッジが「時間」/「パラメーター値」1で追加されると仮定すると、betti_0バーコードは、単に、以下のバラバラなコンポーネントの数を表す線のセットになります。グラフとbetti_1は、単にグラフ内の各「基本」ループを表す一連の線になります（グラフのサイクルスペースを参照）。

グラフ上にそのような順序付け関数を構築する方法はいくつかあります。たとえば、頂点（たとえば、頂点の次数）の関数を計算し、次数の低い頂点は次数の高い頂点の前に「生まれる」と言います。ここで、両方の頂点が存在するようになるたびにエッジが追加されるとしましょう。これで、次数分布の下で与えられたグラフの永続的なホモロジービューを構築できます。ページランク、ラプラシアンなど、他の多くのそのような関数を構築できます。

上記の内容は正しいですが、よく知られている興味深いしわを追加します。

グラフの距離を持続性パラメーターとして使用し、Rips複合体の持続性を計算すると、より高い次元の相同性を実際に見つけることができます。たとえば、Nポイントの永続性ベッティ数は、円上の等間隔で次のようになります。

$$\begin{array}{*{27}{l}} N & b1 & b2 & b3 & b4 & b5 & b6 & b7 & b8 & b9 & b10 & b11 & b12 \\ 3 & & & & & & & & & & & \\ 4 & 1 & & & & & & & & & & \\ 5 & 1 & & & & & & & & & & \\ 6 & 1 & 1 & & & & & & & & & \\ 7 & 1 & & & & & & & & & & \\ 8 & 1 & 0 & 1& & & & & & & & & \\ 9 & 1 & 2 & & & & & & & & & \\ 10 & 1 & 0 & 0 & 1 & & & & & & & \\ 11 & 1 & 0 & 1 & & & & & & & & \\ 12 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & & & & & & \\ 13 & 1 & 0 & 1 & & & & & & & & \\ 14 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & & & & & \\ 15 & 1 & 4 & 0 & 2 & & & & & & & & \\ 16 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 &1 & & & & \\ 17 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & & & & & & & \\ 18 & 1 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & & & \\ \end{array}$$

（永続性ベティ数は、各次元に表示される任意の長さのバーの数を数えることを意味します）

この状況と質問の違いは、グラフをフィルター処理しないことです。代わりに、グラフのエッジ距離によって実現される抽象的なメトリック空間に固執しています。