O（r）行でカッティングレンマは真実ですか？

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切断補題（別名セル分解補題）は、平面に本の線が与えられた、任意の領域（三角形でもに分割できるため、リージョンはラインと交差しています。詳細については、たとえばMatousekの著書「離散幾何学に関する講義」またはこの投稿を参照してください。 $n$ $O(r^2)$ $1\le r\le n$ $O(n/r)$

私の質問は、任意の領域の内部が元の線のと交差するように、平面を線で（領域に）分割できるかどうかです。 $O(r)$ $O(r^2)$ $O(n/r)$

co.combinatorics cg.comp-geom

— ドモータープ
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サイズrのランダムなサンプルがうまくいくと思います。

— Suresh Venkat

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サイズrのサンプルを選択することが、カッティングレンマが最初に証明された方法だと思いました。ただし、サンプリングされたラインの配置にエッジの多いセルがある場合、問題が発生する可能性があります。セルの標準的な三角形分割を選択すると（たとえば、セルの各頂点を下部の頂点に接続します）、各三角形はいくつかのラインと交差します。しかし、これは、セル全体が数行で交差しているという説明とはまったく異なります。

— David Eppstein、

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したがって、行を取り、それらの配置を取り、その垂直分解を計算して、垂直分解を構築するとします。問題は、この垂直分解がカットを形成するような、元の線のセットの線のセットです。 $O(r)$ $O(r)$ $1/r$

さて、この論文でNoga Alonの構成を取り上げると、

www.math.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/epsnet3.pdf

そしてそれを二重化すると、ポイントがを超えるラインに含まれている場合、ラインの1つがラインの -netに属している必要があるように、ラインのセットを取得します。ただし、この構造は、どのネットもで厳密に超線形のサイズでなければならないことを示しています。Nogaの結果は、弱い -netバージョンにも当てはまります。これは、目的のプロパティを持つ行のセットがないことを示しています。 $n/r$ $1/r$ $O(r)$ $\epsilon$

— サリエル・ハーペルド
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単にメールで送信するのではなく、なぜここに質問を投稿するのかさえわかりません...

— domotorp '15

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他の人も同様に利益を得ることができ、サリエルは人々に複数の電子メールを送る必要がないからです。:)

— Suresh Venkat

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...メールは仕事なので、これは楽しいですか？

— Sariel Har-Peled 2012

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$O(r)$ $n$ $n$ $r$ $n$

— デビッド・エップスタイン
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