ハーフスペース範囲カウントのトレードオフ境界

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時間/空間のトレードオフの形式で表された、次元のポイントのセットに対してハーフスペース範囲カウントクエリを実行するための現在の最良の境界は何ですか。Matousekの独創的な1993年の論文（定理6.2、効率的な階層カッティングによる範囲検索）によると、サイズのデータ構造を使用して、について、半空間の交差であるクエリの範囲カウントを実行できます。、場合、時間。以下のためにこれは時間。ただし、範囲検索に関するAgarwalの調査（表36.3.2）では、限界は $d$ $p$ $1 \le p \le d+1$ $O(m)$ $n \le m \le n^d$ $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log^{p-(d-p+1)/d} \left(\frac{m}{n}\right)\right)$ $p=1$ $O(n/m^{1/d})$ $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log(\frac{m}{n})\right)$ 。バウンドの正しいステートメントは何ですか？あるいは、私は何を誤解していますか？最後に、場合、非表示のログ用語はありますか？ $m=n^d$

reference-request ds.data-structures cg.comp-geom

— pkn
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Matoušekのより強い時間制限は正しいです。

定理6.1の証明（ジャーナルバージョン）は、間接的なトリックを使用して、対数クエリ時間に必要なスペースの制限をからます。直感的には、コツはポイントを多対数サイズのサブセットにクラスター化し、各サブセットの線形空間データ構造を構築し、次にサブセット上で標準の対数クエリ時間構造を構築することです。改良された空間をマトシェクのマルチレベル/トレードオフの機械に接続すると、Agarwalの調査のより長いバージョンでひどい一般性で説明されているように、マトシェクの形式の時間と空間のトレードオフが得られます。（実際、間接的なトリックは、標準のトレードオフ機構を非常に注意深く適用したものです。） $O(n^d)$ $O(n^d/\operatorname{polylog} n)$

— ジェフ
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明確に言うと、マトセックの論文の定理6.2は、ハーフスペースカウントは空間、時間で実行できると主張しています。場合、これは時間...ない暗黙添加ログ因子が存在しませんか？私が尋ねるのは、定理7と結果8の調査では、マトセックの定理のステートメントにはない追加のがあるためです。

O (m)

$O(m)$

O (n / m^{1 / d})

$O(n/m^{1/d})$

m = n^{d}

$m = n^d$

O (1)

$O(1)$

O (l o g (m / n))

$O(log (m/n))$

— 2012年

ああ、なるほど。はい、バグがあります。定理ステートメントの上限が緩すぎます。証明にはです。そうでない場合、整数パラメータは未満になります。クエリ時間に対数項を追加すると、問題も修正されます。

m \leq n^{d}

$m \le n^d$

m = O (n^{d} / \log^{d - p + 1} n)

$m = O(n^d / \log^{d-p+1} n)$

r

$r$

1

$1$

— Jeffε

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半空間範囲検索の結果については、Agarwalの調査の表36.3.2のすぐ上と、この調査のセクション4.3の別の説明で簡単に説明されています。前者は「シンプレックス範囲検索の空間/クエリ時間のトレードオフは、線形サイズと対数のクエリ時間データ構造を組み合わせることによって達成できる」以上の詳細を提供していないようですが、後者はかなり提供するようですスペースとクエリ時間のトレードオフの詳細。セクション4.3、定理7、推論8、およびそれらの証明を確認することをお勧めします。私はそれらがあなたの質問に完全に答えるかどうかを知るのに十分なほど詳細にそれらを読みませんでした、しかしそれは少なくとも始めるのに良い場所です。

— ジョー
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