ミンコフスキー和の下で閉鎖。

ベクターの二組のミンコフスキー和によって与えられます。 $A, B \in R^d$

あ \oplus B = {a + b | a \in あ 、 b \in B}

$A \oplus B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B \}$

私はちょうど（ダン・ハルパリンに起因する）、興味深い問題を聞いた：形状を考えると、形状が存在しないように？ $B$ $A$ $A \oplus A = B$

しかし、それは私の質問ではありません（未解決の問題のようです）。場合、上記の問題、すなわち観察凸集合であり、その後、溶液が存在する凸集合がミンコフスキー和の撮影の下で閉じているためです。 $B$ $A = (1/2)B$

形状のクラス修正します。私たちは、と言うされて閉じミンコフスキー和の下で任意のための場合は。 ${\cal S}$ ${\cal S}$ $A, B \in {\cal S}, A \oplus B \in {\cal S}$

だから私の質問は：

ミンコフスキー和の下で閉じている形状のクラスの優れた特性はありますか？ ${\cal S}$

cg.comp-geom

— Suresh Venkat
ソース

ジュッカ：質問を更新しました。

— Suresh Venkat

リビジョン2を読みました。（1）「ミンコフスキー和をとると凸集合が閉じている」が「解A =（1/2）Bが存在する」の理由です（両方の事実は明らかです）。（2）「ミンコフスキー和の下で閉ざされている」よりも優れた同等の特性があるとは思えません。

— 伊藤剛

直接的な影響がないことは事実です。しかし、証明は2つの凸集合の合計が凸であることを使用します。「だから…」の代わりに「それも注意してください..」と言い換えることもできます

— Suresh Venkat

凸集合Bに対して（B / 2）⊕（B / 2）= Bを証明するとき、2つの凸集合のミンコフスキー和が凸であるという事実を使用するとは思いません。包含（B / 2）⊕（B / 2）⊇Bは凸性とは関係ありません。包含（B / 2）⊕（B / 2）⊆Bは、Bが凸型であるという事実から派生します。任意のx、y∈B、（x / 2）+（y / 2）∈Bの場合、 B.

— 伊藤剛

@吉尾：それは可能です。この質問は、一般的なグループでの「要約」作業にも関連している可能性があります。

— Suresh Venkat

格子と線形部分空間はミンコフスキー和の下で閉じられます。それは彼らの定義から多かれ少なかれ即時です。格子+線形部分空間はミンコフスキー和の下で閉じられます（つまり、このセットのメンバーは、たとえば、互いに距離1の平行線のセットです）。穴のある接続されたポリゴンは、ミンコフスキー和の下で閉じられます。リング[2つの同心円ディスクのセット差]は、ミンコフスキー和の下で閉じられます（ディスクは当然リングと見なされます）。特定の方向に平行な線分のセットは、ミンコフスキー和の下で閉じられます。マッシュポテトはミンコフスキーの合計額で閉鎖されていますが、十分に調理されている場合のみです（または、多分、手遅れです）...

また、同心円の有限結合の族はミンコフスキー和の下で閉じられます。

— サリエル・ハーペルド
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