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一般的なグラフの支配集合問題を考え、グラフの頂点の数とする。貪欲近似アルゴリズムは、因子1 + log nの近似保証を提供します。つまり、次のような解Sを多項式時間で見つけることができます。S | ≤ （1 + log n ）o p t、ここでo p tは最小支配セットのサイズです。我々は上の依存関係改善ができないことを示す境界があるログn個くらいはnnn1+logn1+log⁡n1 + \log nSSS|S|≤(1+logn)opt|S|≤(1+log⁡n)opt|S| \leq (1 + \log n) optoptoptoptlognlog⁡n\log nhttp://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf。 私の質問：nではなくに関して保証がある近似アルゴリズムはありますか？グラフにN最適に対して非常に大きい、因子ログN近似係数よりもはるかに悪いであろうログO のP Tの近似値。そのようなものは知られていますか、またはこれが存在できない理由はありますか？私は次のような解Sを生成する多項式時間アルゴリズムに満足しています。S | ∈定数cのO （o p t c）optoptoptnnnnnnlognlog⁡n\log nlogoptlog⁡opt\log optSSS|S|∈O(optc)|S|∈O(optc)|S| \in O(opt^c)ccc。

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最大カットを近似するためにGoemansアルゴリズムとWilliamsonアルゴリズムを適用すると、0.878…-近似係数が得られるグラフの明示的な例に興味があります。 このようなインスタンスを作成するアルゴリズムは完璧であり、明示的な例と参照で十分です。

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次のように組み立てられる可能性のある質問があります。私は、ポイント与えられていでD次元ベクトル空間を、そして私が最も近い点を見つけたいQへのpを満たす「のセットℓ 0形式の制約」pppdddqqqpppℓ0ℓ0\ell_0 セット所与、ほとんどの1つ{ q個のJ、J ∈ Sは}ゼロ以外であってもよいです。S∈[1…d]S∈[1…d]S \in [1\ldots d]{qj,j∈S}{qj,j∈S}\{q_j, j \in S\} 近さの概念は異なりますが、今のところ、のような便利な距離を前提とするのに十分である。ℓ22ℓ22\ell_2^2 元の制約に近似する「十分に近い」ポリトープを提供するという意味で「良い」線形制約に対する既知の緩和はありますか。「十分に近い」の定義にもかなり柔軟です。

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双対性について話すとき、相補的弛緩（CS）が一般的に教えられます。これは、数学的観点から、主制約と双対制約/変数の間の適切な関係を確立します。 CSを適用する2つの主な理由（大学院のコースや教科書で教えられているとおり）： LPの最適性を確認するには デュアルを解決するために 今日のコンピューティングパワーとLPを解くための多項式アルゴリズムを考えると、CSは実用的な観点からまだ適切ですか？私たちは常に双対を解決し、上記の両方の点に取り組むことができます。CSを使用してデュアルを解決する方が「より効率的」であることに同意しますが、それはそれですか？それとも、CSには目に見える以上のものがあるのでしょうか。上記の2つのポイントを超えて、CSはどこで役に立ちますか？近似アルゴリズムについて話すとき、CSの概念をほのめかすテキストをよく見ましたが、そこでの役割を理解できません。

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クラスタ内の平方和が最小になるように、ポイントのセットを2つの等しいサイズのサブセットに分割したいと思います。ポイントは2次元のユークリッド空間にあると想定できます。k = d = 2の場合、一般的なk平均クラスタリングアルゴリズムよりも高速なものを期待しています。誰かがこのための良いアルゴリズムの方向に私を向けることができますか？ 適切な近似があれば、正確な解は必要ありません。 ありがとう！

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植え付けられたクリーク問題では、Erdos-Renyiランダムグラフ植え付けられたクリークを復元する必要があります。これは主にで確認されており、この場合、場合は多項式時間で解けることが知られており、強く推測されます。G （n 、p ）p = 1kkkG(n,p)G(n,p)G(n,p) k&gt;√p=12p=12p=\frac{1}{2} k&lt; √k&gt;n−−√k&gt;nk > \sqrt{n}k&lt;n−−√k&lt;nk< \sqrt{n} 私の質問は：他の値について何が知られている/信じられていますか？具体的には、一定である？そのようなすべての値に対して、問題が計算的に難しいいくつかのが存在するという証拠はありますか？P [ 0 、1 ] のP K = N αpppppp[0,1][0,1][0,1]pppk=nαk=nαk=n^{\alpha} 以外の値の問題を調べる文献を見つけることができなかったので、参照は特に役立ちます。p=12p=12p=\frac{1}{2}

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古典的な#P完全問題＃3SATを検討してください。つまり、評価の数を数えて、変数を持つ3CNFを充足可能にします。加法近似性に興味があります。明らかに、2 n − 1-エラーを達成するための自明なアルゴリズムがありますが、k &lt; 2 n − 1の場合、効率的な近似アルゴリズムを使用することは可能ですか、またはこの問題も#P困難ですか？んnn2n − 12n−12^{n-1}k &lt; 2n − 1k&lt;2n−1k<2^{n-1}

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私の質問は少し曖昧です。私は、ツリー幅の概念をグラフのパッキング問題に適用できるかどうか（およびその方法）を考えていました。 私はこれに関する過去の研究の洞察や参照に満足しています（それらが何らかの関係であると仮定します）。ありがとう。

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で最大カット問題、一方がSとSの補体間のエッジの数ができるだけ大きくなるように、所定の単純な無向グラフの頂点の部分集合Sを求めます。 Max-Cutは有界次数グラフ[PY91]ではAPX完全であり、実際には3次グラフ（すなわち、次数3のグラフ）[AK00]ではAPX完全です。 Max-Cutは、最大3つの三角形のないグラフでNP完全です[LY80]（三角形のないことは、入力グラフに、サブグラフとして3つの頂点の完全なグラフであるK_3が含まれないことを意味します）。 質問： Max-Cut APXは三角形のないグラフで完全ですか？（注：任意の角度が許可されています） ありがとうございました。 更新：答えは見つかりましたが、もしあれば、この結果のリファレンスに興味があります。 参照： [AK00] P. AlimontiおよびV. Kann：3次グラフの一部のAPX完全性の結果。理論。計算。サイエンス。237（1-2）：123-134、2000。doi：10.1016 / S0304-3975（98）00158-3 [LY80] JMルイスとM.ヤナカキス：遺伝的特性のノード削除問題はNP完全です。J. Comput。システム。サイエンス。20（2）：219-230、1980。doi：10.1016 / 0022-0000（80）90060-4 [PY91] CH PapadimitriouおよびM. Yannakakis：最適化、近似、および複雑性のクラス、J。Comput。System Sci。、43（3）：425-440、1991。doi：10.1016 / 0022-0000（91）90023-X

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で容量制約施設配置問題（CFLP） 、私たちは、クライアントのセットが指定されているおよび潜在的な施設の集合Fを。各クライアント・J ∈ Cは需要があるのD jを 1つの以上のオープンの施設で提供されなければなりません。各施設I ∈ Fは、開口コスト有するF のI及び容量有するU I施設最大需要であり、iは機能することができるが。施設iのクライアントjの 1単位の需要に対応するコストはc i jです。CCCFFFj∈Cj∈Cj \in Cdjdjd_ji∈Fi∈Fi \in Ffifif_iuiuiu_iiiijjjiiicijcijc_{ij}。施設のサブセットを開き、すべてのクライアントの需要が満たされ、容量の制約に違反せず、施設を開いてクライアントにサービスを提供するための総コストが最小限になるように、クライアントの需要を施設に割り当てたいと考えています。サービスコストは非負で対称的で、三角形の不等式を満たします。 【でアローラ1ページ、21]と述べ「アローラ、ラガワン及びラオ[ 2 ]幾何学的場合についてPTASを与えるが、これらは容量化する場合にアルゴリズムを拡張するが、最終的な溶液は、少量容量制約に違反する可能性があります。」「少量」とはどういう意味ですか？それは、それらが任意のϵ &gt; 0 に対して因数内の容量制約に違反するPTASを与えることを意味すると思います。これは正しいですか？(1+ϵ)(1+ϵ)(1+\epsilon)ϵ&gt;0ϵ&gt;0\epsilon > 0 [ 2 ] を調べたとき、関連する唯一の結果は、静電容量k-中央値問題の（1 + ϵ ）近似解を見つけるための時間アルゴリズムでした。容量が均一です。Aroraは上記の結果を[ 1 ] で参照していますか？nO(log2(n/ϵ))nO(log2⁡(n/ϵ))n^{O(\log^2 (n / \epsilon))}(1+ϵ)(1+ϵ)(1+\epsilon)kkk [ 1 ] S.アローラ。NP困難な幾何学的最適化問題の近似スキーム：調査。数学では。プログラミング、Ser。B、vol。97、43-69頁、2003年。 [ 2 ] S. Arora、P。Raghavan、およびS. Rao。ユークリッドk中央値および関連する問題の近似スキーム。手続き中 コンピューティングの理論に関する第30回ACMシンポジウム、106ページから113ページ、1998年。

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次の問題に名前があるのか​​、それに関連する結果があるのか​​と思います。 LETここで加重グラフであるの間の辺の重み表し及び、そしてすべてのための、。問題は、隣接するエッジの重みの合計を最大化する頂点のサブセットを見つけることです： サブセットの内側とサブセットの外側の両方のエッジをカウントしていることに注意してください。これがこの問題をmax-cutと区別するものです。ただし、uとvの両方がSにある場合でも、エッジ（u、v）のみをカウントしますG=(V,w)G=(V,w)G = (V,w)w(u,v)w(u,v)w(u,v)uuuvvvu,v∈Vu,v∈Vu,v \in Vw(u,v)∈[−1,1]w(u,v)∈[−1,1]w(u,v) \in [-1,1]maxS⊆V∑(u,v):u∈S or v∈Sw(u,v)maxS⊆V∑(u,v):u∈S or v∈Sw(u,v)\max_{S \subseteq V} \sum_{(u,v) : u \in S\ \textrm{or}\ v\in S} w(u,v)uuuvvvSSS(u,v)(u,v)(u,v) 1回（2回ではなく）。これは、目的を単に学位の合計であると区別するものです。 すべてのエッジの重みが負でない場合、問題は些細なものであることに注意してください-単にグラフ全体を取ってください！

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ここに私をしばらく悩ませてきた問題があります。さんが言ってみましょう文字列は、1と0のシーケンスであり、そしてワイルドカード文字列は 1のシーケンスであり、0、および？の。すべての文字列とワイルドカード文字列は同じ長さです。これらは標準のUNIXワイルドカードです。10 ?? 1は10011、10111などと一致します。その位置で1または0に一致します。場合はおよびWは、ワイルドカード文字列である、我々は書きV ≤ Wにマッチしたすべての文字列ならばvはまたで一致しているワットを。vvvwwwv≤wv≤wv \leq wvvvwww 問題：集合与えられたワイルドカード文字列の、およびクエリV（ワイルドカード文字列）は、存在しないwが∈ SようにV ≤ ワット？そうでない場合、vをSに効率的に追加できますか？SSSvvvw∈Sw∈Sw \in Sv≤wv≤wv \leq wvvvSSS ここに明らかなソリューション（kは文字列のサイズ、mはRAMのワードサイズ（通常32または64））：リストの各要素を調べ、条件をテストします（2または3回の操作で実行できます）ビットいじりを使用して）。また、テストであれば、V≥wは任意の項目について成り立つワットながら、僕らだスキャン。vがテストに失敗した場合は、vをセットに追加し、マークしたwを削除します。O(kmn)O(kmn)O(\frac{k}{m}n)kkkmmmv≥wv≥wv \geq wwwwvvvvvvwww しかし、それは十分に速くありません。ソリューション、または完全な世界では、基数ツリー（O （k ））に似た複雑さがあったら、それは本当にすばらしいでしょう。クエリはほぼ正確であることがもOKです：場合、であるV ≤ wが、その後、yesまたはno返しません。しかし、条件が成立しない場合は、間違いなくノーを返します。O(logn)O(log⁡n)O(\log n)O(k)O(k)O(k)v≤wv≤wv \leq w これは最悪の場合の複雑さには役立ちませんが、内のすべての要素はワイルドカード文字列で区切られていると想定できます。つまり、いくつか存在するVなど、すべてのそれのw ∈ S、V ≥ wは。SSSvvvw∈Sw∈Sw \in Sv≥wv≥wv \geq w 私が試したアイデア ワイルドカード文字列は結合セミラティスを形成します。ワイルドカード文字列を保持するn-aryツリーを持つことができます。葉はワイルドカード文字列であり、枝はすべての子の結合を表します。クエリと結合が比較できない場合、そのブランチのすべての子と比較するために時間を無駄にする必要はありません。さらに、更新を行い、その更新が結合よりも大きい場合は、ブランチ全体を削除するだけで済みます。残念ながら、これは最悪の場合でも依然としてであり、要素を追加するためにツリーをスキャンするときに、常に「最適な」結合を見つけることができるとは限りません。O(n)O(n)O(n) 基数トライを形成できます。Sはいくつかのワイルドカード文字列で区切られていることがわかります。？0？0であると仮定します。次に、トライのすべてのブランチは、文字列の1番目と3番目のビットにある必要があります。クエリで分岐している現在のビットが1の場合、？そして1つの枝; 0の場合、？そして0の枝; ？の場合、チェックするのは？ブランチ。潜在的に複数のブランチをとる必要があるため、これはあまりよくありません（同じ理由でトライを更新するのは困難です）。マッチングは非常に高速な操作であるため、ツリー内で多くのトラバースを実行する単純な戦略と比較すると、害があります（ポインターの束を追跡することは、いくつかのORやANDを実行するよりもはるかにコストがかかります）。SSSSSS 関連作業 ネットワーキングコミュニティでは、この問題は「パケット分類」として現れます。ここでは、既知のアルゴリズムとデータ構造の良い調査を示します。残念ながら、ほとんどの場合、ワイルドカード文字列はプレフィックスにのみ一致すると想定されており、クエリはそのような文字列のタプルです。もちろん、常に次の基準を満たすように一般的なワイルドカード文字列を変換できます：1？00？1 ?? は（1、？、0、0、？、1、？、？）です。ただし、これは効率的ではありません。他の前提として、これらのタプルは「色」に関連付けられており、クエリで色が返される必要があります（一致した色だけではありません）。これは、タプルを順序付けする必要があるため（または（0、？）と（？、1）のどちらが（0、1）に一致するかが不明確）、問題がはるかに困難になります。 アルゴリズムコミュニティでは、「気にしない」と一致する部分文字列の検索に関連する多くの結果を見つけました。これはかなり難しい問題であり、実際にはどのテクニックも利用できません。 結論として 助けてくれてありがとう！

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FPT時間で解決するのは難しいが、近似アルゴリズムがある問題を探しています。つまり、次のような問題があります。 R1。W [1]-ハード。 R2。FPT時間で（できれば一定の）近似アルゴリズムを許可します。 私がよく知っている問題は、グラフで長さ単純なパスの数を数えることです。これは#W [1] -hardであることが知られていますが、FPT時間での（近似を認めます定数）。（1 + ϵ ） ϵkkk（1 + ϵ ）（1+ε）(1+\epsilon)εε\epsilon また、R1とR2を満たす問題も興味深いでしょう。 R3。が存在するため、問題は FPT時間で近似可能ではありません W [1] = FPTを除く）。（1 + ϵ ）ϵ &gt; 0ε&gt;0\epsilon>0 （1 + ϵ ）（1+ε）(1+\epsilon) R1とR2、そしておそらくR3を満たす他の問題は何ですか？

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私は最小支配集合問題の近似アルゴリズムに取り組んでいます。特に、禁止された誘導サブグラフによって制限されるグラフクラスに興味があります。支配問題とその変種は広範囲にわたって研究されているので、誰かが以前にこれに取り組んだ可能性があります。したがって、問題は次のとおりです。 誰かが禁止された誘導サブグラフによって定義されたグラフクラスの支配問題の近似アルゴリズムが研究されている論文を知っていますか？ 前もって感謝します。敬具。

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[4]に要約されているUNWEIGHTEDフィードバック頂点セット問題（FVS）には、いくつかの2近似アルゴリズムがあります。頂点カバーからFVSへの縮小は近似を維持することに注意してください。ユニークなゲーム予想を前提として、より良いアルゴリズムを期待することはできません。質問は： 一部のアルゴリズムが実際に比率2に達する重み付けされていないグラフはありますか？ [1]には、加重FVSのそのようなタイトなインスタンスが含まれています。 Vineet BafnaとPiotr Bermanと藤戸敏宏、http： //doi.org/10.1137/S0895480196305124 ; アン・ベッカーとダン・ガイガー、http： //doi.org/10.1016/0004-3702（95）00004-6 ; 藤戸俊宏、http： //doi.org/10.1016/0020-0190（96）00094-4、 FabiánA. Chudak、Michel X. Goemans、Dorit S. Hochbaum、David P. Williamson、http： //doi.org/10.1016/S0167-6377（98）00021-2 。

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