FPT時間近似アルゴリズムのW [1] -hard問題

9

FPT時間で解決するのは難しいが、近似アルゴリズムがある問題を探しています。つまり、次のような問題があります。

R1。W [1]-ハード。

R2。FPT時間で（できれば一定の）近似アルゴリズムを許可します。

私がよく知っている問題は、グラフで長さ単純なパスの数を数えることです。これは#W [1] -hardであることが知られていますが、FPT時間での（近似を認めます定数）。 $k$ $(1+\epsilon)$ $\epsilon$

また、R1とR2を満たす問題も興味深いでしょう。

R3。が存在するため、問題は FPT時間で近似可能ではありません W [1] = FPTを除く）。 $\epsilon>0$ $(1+\epsilon)$

R1とR2、そしておそらくR3を満たす他の問題は何ですか？

— RB
ソース

9

ダイレクト奇数サイクルトランスバーサル問題入力がグラフで、タスクは、最小セットを見つけることであるように、頂点を奇数の長さのない（有向）サイクルを有していません。パラメータ化されたバージョンでは、整数も与えられ、最大でのサイズの解が存在するかどうかを尋ねられます。 $G$ $S$ $G-S$ $k$ $k$

で、この論文、我々は問題がWである（R1）ことを証明する -hard、（R2）は、時間的に2倍近似アルゴリズムを認めその、及び（R3' ）はよりやや強い仮説を仮定すると、問題は時間近似アルゴリズムを認めないようなが存在する $[1]$ $2^{k^{O(1)}}n^{O(1)}$ $FPT \neq W[1]$ $\epsilon > 0$ $(1+\epsilon)$ 。 $f(k)n^{O(1)}$

— ダニエロ
ソース

6

[1]で、著者らは、CNF数式の発生率グラフのクリーク幅（それぞれの近隣多様性）によってパラメーター化されたMaxSATにFPT-AS（固定パラメータートラクタブル近似スキーム）があることを証明していますが、MaxSATパラメーター化によってクリーク幅（それぞれネイバーダイバーシティ）はW [1]ハードです。

この定理は、[2]の結果に大きく依存しています。これは、大きなクリークのない有界クリーク幅のグラフにも有界ツリー幅があるとおおまかに言っているため、発生率グラフに大きなクリークがないように数式をスマートにトリミングして解決します有限のツリー幅でMaxSATのよく知られたアルゴリズムを使用してFPT時間を短縮した式。このアプローチは他の問題でもうまくいくと思います。

[1] Holger Dell、Eun Jung Kim、Michael Lampis、Valia Mitsou、TobiasMömke： パラメータ化されたMAX-CSPの複雑さと近似性。IPEC 2015

[2] Gurski、F。、およびWanke、E。（2000年6月）。K n、nなしのクリーク幅有界グラフのツリー幅。コンピュータサイエンスにおけるグラフ理論的概念に関する国際ワークショップ（pp。196-205）。スプリンガー、ベルリン、ハイデルベルク。

— ホルフ
ソース

6

不良着色我々はグラフ与えられ整数であり、の頂点分割するように求められ各クラスが最大で最大度のグラフを誘導するように、カラークラスの最小可能数に。（この問題は単なるColoringです）。 $G$ $\Delta^*$ $G$ $\Delta^*$ $\Delta^*=0$

[1]では、treewidth によってパラメーター化されたこの問題に関して次のことを示しました。（R1）問題はW [1] -hardです。（R2）FPT時間で最小色数を2に近似できます。（R3）標準の仮定の下では、FPT時間に近似はありません。 $(3/2-\epsilon)$

[1]レミーベルモンテ、マイケルランピス、およびバリアミツウ：パラメーター化された（近似）欠陥のあるカラーリング。STACS '18。

— マイケルランピス
ソース

5

kカットの問題は、最小数のエッジを削除して、少なくともk個のコンポーネントを作成することです。W [1]は、kでパラメーター化するとハードですが、任意のkに対して2近似を認めます。

— チャンドラ・チェクリ
ソース

2

小集合展開仮説では、kカットは

近似を認めないことが知られています。SODA 2018 1が得ることができることを示すでグプタらの最近の論文

で-approximation

時間

固定されているが小さい定数です。

(2 - ϵ)

$(2-\epsilon)$

(2 - δ)

$(2-\delta)$

2^{O (k)} n^{O (1)}

$2^{O(k)} n^{O(1)}$

δ > 0

$\delta > 0$

— Chandra Chekuri

5

（この質問は2年前に尋ねられましたが、この質問を見るかもしれない他の人々のために答えを投稿します。）

で容量制約の $k$ -median問題我々はセット与えられる $F$ 施設、各施設 $f$ 容量の $u_f \in \mathbb{Z}_{\geq0}$ 、セット $C$ クライアントの、メトリック $d$ オーバー $F\cup C$ および上限 $k$ 数のを私たちが開くことができる施設の。問題の解決策を設定する $S \subseteq F$ せいぜいの $k$ オープン設備と接続割り当て $\phi:C\rightarrow S$ クライアントのように開放施設へ $|\phi^{-1}(f)| \leq u_{f}$ すべての施設のための $f \in S$ 。我々は解決策を見つけたいという最小限の接続コスト $\sum_{c\in C} d(c,\phi(C))$ 。問題は、パラメーター化された場合、 $W[2]$ -hardです。この論文、著者らは、問題のFPT時定数係数近似アルゴリズムが存在することを示しました。（この場合、GAP-ETHで否定的な結果を確認できます。以下を参照してください。 $k$ https://arxiv.org/pdf/1708.04218.pdf）

— アミール・ニカバディ
ソース