存在

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一般的なグラフの支配集合問題を考え、グラフの頂点の数とする。貪欲近似アルゴリズムは、因子近似保証を提供し。つまり、次のような解多項式時間で見つけることができます、ここでは最小支配セットのサイズです。我々は上の依存関係改善ができないことを示す境界があるくらいは $n$ $1 + \log n$ $S$ $|S| \leq (1 + \log n) opt$ $opt$ $\log n$ http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf。

私の質問：ではなくに関して保証がある近似アルゴリズムはありますか？グラフに最適に対して非常に大きい、因子近似係数よりもはるかに悪いであろう近似値。そのようなものは知られていますか、またはこれが存在できない理由はありますか？私は次のような解を生成する多項式時間アルゴリズムに満足しています定数 $opt$ $n$ $n$ $\log n$ $\log opt$ $S$ $|S| \in O(opt^c)$ $c$ 。

cc.complexity-theory approximation-algorithms approximation-hardness

— バート・ヤンセン
ソース

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支配セットまたは打撃セットがいくつかの（自明ではない）関数fに対してaf（OPT）近似を持っている場合、それはまだ開いていると思います。これは答えるのが非常に難しい（そして可能な限り深い）質問です。私はそれをパラメーター化された近似の中で最もエキサイティングな質問と考えています（クリークの類似の質問と共に）。これについて説明している私の調査[1]をご覧になることをお勧めします。最近の論文[2]では、「よこ糸2回路の単調回路充足可能性」、支配集合よりも一般的な問題、がf（OPT）近似を持たないことに注意してください。

[1] D.マルクス。パラメータ化された複雑さと近似アルゴリズム。コンピュータジャーナル、51（1）：60-78、2008。

[2] D.マルクス。完全に近似できないモノトーンおよびアンチモノトーンのパラメーター化された問題。計算の複雑さに関する第25回年次IEEE会議の議事録、マサチューセッツ州ケンブリッジ、181〜187年、2010年。

— ダニエル・マルクス
ソース

参考にしてくれてありがとう！これは私の質問にうまく答えます。

— Bart Jansen、2011年

セットの数だけに依存する良い比率を得ることができないことを示すネルソンの次のノートを見るのも興味深いかもしれません。eccc.hpi-web.de/eccc-reports/2007/TR07-105/revisn01.pdf

— Chandra Chekuri 2011年

2

これはコメントである必要があります。質問に直接回答するのではなく、関連する質問に回答するためです。おそらく、[1]からの同様のトリックが答えを提供するでしょう。

[1]では、次のことが証明されています。

$G=(V,E)$ $k$ $k$ $G$ $g(k)$ $g(k)$ $k$ $G$ $k$

$g(k)$

[1]ロドニーG.ダウニー、マイケルR.フェローズ、キャサリンマッカーティン、フランシスロザモンド。「支配集合問題のパラメータ化された近似」。情報処理レター、ボリューム109発行1、2008年12月。

— ルーブ
ソース

1

[1]のトリックは、最大化問題としての独立支配集合が単調ではないという事実に基づいています。実行可能な解のサブセットは必ずしも実行可能な解ではありません（これは通常、意味のある近似を持つ最大化問題の場合です）。したがって、すべての実行可能なソリューションが同じサイズであり、近似が無意味になる可能性は非常に高くなります。

— ダニエルマルクス