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c-彩色数は、グラフのコグラフへのパーティション分割で定義されています。各カラークラスがcographになるように、頂点のカラーリングに使用されるカラーの最小数を要求します。CographはP4フリーのグラフです。つまり、長さ3の誘導経路はありません。 紙は、としてCクロマチック数意味、その証明証明をするために使用することができる4ページ備考12を任意の色を、多項式時間で最大で色の色に変換します。c （G ）c(G)c(G)⌈1+ΔC （G ）≤ ⌈ 1 + Δ2⌉c(G)≤⌈1+Δ2⌉c(G)\le \lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil ⌈ 1 + Δ2⌉⌈1+Δ2⌉\lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil 古典的なグラフの色付け、つまり色数の研究では、貪欲な色付けが議論されました。貪欲なカラーリングのパフォーマンスは、頂点の順序によって決まります。最悪の場合、グラフには色が必要ですが、です。これは、貪欲なカラーリングの近似比が恣意的に悪いことを意味します。| V |χ （G ）χ(G)\chi(G) χ（G）=2| V|2|V|2\frac{|V|}{2}χ(G)=2χ(G)=2\chi(G)=2 同様に、グラフをコグラフに着色する場合、貪欲な着色を使用できます。頂点の順序を指定して、各頂点に最小の色でラベルを付け（色が1、2、3、...とラベル付けされていると想定）、各色クラスがコグラフになるようにします。 私の質問は： コグラフの色付けに対する貪欲な色付けの最悪の動作は何ですか？ 貪欲な色付けには色よりも多くの色が必要なのでしょうか？⌈1+Δ2⌉⌈1+Δ2⌉\lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil

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これは、私の以前の質問であるMAX-3SATの超多項式時間近似アルゴリズムによって動機付けられています。多くの最適化問題では、広く信じられている複雑さの理論的推測を想定すると、それぞれについて、近似性の下限ます。言い換えると、あるαよりも良い近似比（問題ごとに異なる比α）を持つ最適化問題には、多項式時間アルゴリズムはありません。αα\alphaαα\alphaαα\alpha 超多項式時間アルゴリズムを許可する場合、よりも良い近似比を達成できる最適化問題はありますか？準多項式時間アルゴリズム（n O （log n ））を使用して、またはサブ指数時間アルゴリズム（2 o （n ））を使用しても、より良い近似比を達成できますか？αα\alpha んO （ログn)nO(log⁡n)n^{O(\log n)}2o(n)2o(n)2^{o(n)} そのような結果の調査をお願いします。

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有向グラフ上カーディナリティ制約付き最小 - -cut既知の近似結果があるかどうかを知りたいです。文献ではそのような結果を見つけることができませんでした。sssttt 問題は次のように定義されます。 インスタンス：有向グラフ、コスト関数、2つの頂点および整数。G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)w:E→R+0w:E→R0+w : E \to \mathbb{R_0^+}s,t∈Vs,t∈Vs,t \in Vkkk 溶液：アン -の留分、すなわちパーティション 2つのセットによう、とカットが最大である交差エッジの数、すなわち。ssstttVVVV1,V2V1,V2V_1, V_2s∈V1s∈V1s \in V_1t∈V2t∈V2t \in V_2kkk|{(u,v)∈E:u∈V1,v∈V2}|≤k|{(u,v)∈E:u∈V1,v∈V2}|≤k|\{ (u,v) \in E: u \in V_1, v \in V_2 \}| \le k 測定（最小化）：カットのコスト：∑(u,v)∈E:u∈V1,v∈V2w(u,v)∑(u,v)∈E:u∈V1,v∈V2w(u,v) \sum_{ (u,v) \in E : u \in V_1, v \in V_2 } w(u,v) 「カーディナリティー制約および複数基準（マルチ）カットの問題」では、autorsは、この問題が無向グラフの場合でも強くNP困難であることを証明しています。 主に有向グラフの近似アルゴリズムに関心がありますが、無向の場合の近似結果も役立つ場合があります。 洞察をありがとう。

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立方体 の点に最も近い単位立方体のコーナーをどのように見つけることができますか？ L1メトリックを使用して、4d | -0000 | =、| -0001 | = （右側の）など。R d x x ∑ x i x x 3 + x 2 + x 1 + （1 − x 0）x 0d+1d+1d+1RdRd\mathbb{R}^dxxxxxx∑xi∑xi\sum {x_i}xxxx3+x2+x1+(1−x0)x3+x2+x1+(1−x0)x_3 + x_2 + x_1 + (1 - x_0)x0x0x_0 別の定式化の場合、最初に > 1/2を反転してソートし、 1/2; 対称性により、このケースのアルゴリズムはキューブ内の任意のを実行できます。 定義、。 次に、コーナーが最も小さいコーナーが必要です。 0 ≤ …

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「良い」とは、アルゴリズムが比較的厳しい制限を提供するか、実行時間が比較的速いことを意味します。どんなリファレンスでも大歓迎です。

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独立したセットの数を正確に/およそ数えるために利用できるアルゴリズム/数学手法は何ですか？ このトピックに関する優れたリファレンス/優れたリファレンスはありますか？ 通常のグラフに興味があります。

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これはやや主観的な質問です。マルチコモディティフローカット結果、特にフローがカットの良い近似であることを示す「肯定的な」結果（たとえば、フローの数が一定または多対数である因子内）の研究に興味があります。次に例を示します。 1）無向グラフのマルチコモディティフローのフローポリトープ（デマンドポリトープとも呼ばれる）は、以下に示すように、カットのO（log k）内にあります。 F.レイトンとS.ラオ、「近似アルゴリズムへのアプリケーションを使用した均一な多種商品流れ問題の近似最大フロー最小カット定理」、Proc。コンピュータサイエンスの基礎に関する第28回年次シンポジウム（カリフォルニア州ロスアラミトス）、1988年。 N. Linial、E。London、およびY. Rabinovich、「グラフのジオメトリとそのアルゴリズムアプリケーションの一部」、Combinatorica、vol。15、いいえ。2、pp。215–245、1995。 2）対称需要の有向グラフのマルチコモディティフローの需要ポリトープは、以下に示すように、カットのO（log ^ 2 k）内にあります P.クライン、S。プロトキン、S。ラオ、およびE.タルドス、「有向マルチコモディティフローの最大フロー最小カット比の限界」、J。アルゴリズム、No。22、pp。241–269、1997。 3）グループキャストの最大合計レートは、マルチカットの2倍以内です。（私はこの結果の参照を知りません。誰かがこれを手伝ってくれませんか？ありがとうございます。） 問題の特定の構造（上記のように、グラフの無向性や対称的な要求など）を想定して、フローがカットに近いことを確認するこのような肯定的な結果について、もっと知りたいと思います。結果の1行の要約と論文のリファレンスを提供していただければ幸いです。ありがとう。

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問題は、疑似多項式時間アルゴリズム（ナップザックなど）を持つNP完全問題に対して、常にポリ時間近似スキームが存在するかどうかです。

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3-SAT最適化問題の加重バージョンであるWEIGHTED-MAX-3SATの最適解を見つけるのは、NP困難です。実際、MAX-SATの重み付けされていないバージョンを任意に適切に近似することでさえ、PCP定理によってNP困難であることが証明されます。 WEIGHTED-MAX-3SATを概算するための標準的なアルゴリズムは、MAX-WalkSATです。周りを見回すと、3-SATまたは（重み付けされていない）MAX-3SATの解決策を見つけるために一般的に使用される他のアルゴリズム（つまり、分岐およびDPLアルゴリズム）に関するいくつかの情報が見つかりましたが、その方法についての説明はありませんでした。これらは加重バージョンでも機能します。直感的には、適応しないとうまく機能しません。 既知のWEIGHTED-MAX-SATソルバーがあり、これらのアルゴリズム/ソルバーの相対的な品質がある場合、WEIGHTED-MAX-SATを概算するために他にどのようなアルゴリズムが一般的に使用されているのでしょうか。

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私は1993年にCP Schnorrによって「整数の因数分解とディオファントス近似による離散対数の計算」というタイトルの論文を見つけました。整数の因数分解を行うために期待される多項式実行時間（およびスペース）を使用した確率論的手法のようです。 論文から：「を因数分解するシナリオ...対応する格子問題は、現在知られている格子簡約アルゴリズムでは実行不可能です。次元6300の格子の格子基底簡約の経験はありません。入力ベクトルのビット長は少なくとも1500です。」N≈ 2512N≈2512N \approx 2^{512} これは、提示されたアルゴリズムは多項式であるが、指数と係数が非常に大きいため、現在のテクノロジーでは計算上実用的ではないことを意味します。 誰もがこれについて検討できますか？この紙は合法ですか？もしそうなら、この巨大なニュースではありませんか？これは、整数因数分解がPで行われる可能性があることを意味していませんか？格子縮小アルゴリズムを扱いやすくするために人々は進歩していますか？

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仮定いくつかの連続関数であり、いくつかのf：R × R → Rf:R×R→Rf:\mathbf{R}\times \mathbf{R} \to \mathbf{R} バツ1… xんx1…xnx_1 \ldots x_nは実際の値のセットであり、計算したい アーグミンaΣ私f（a 、x私）argmina∑if(a,xi)\text{argmin}_a \sum_i f(a,x_i)を規定の精度に さまざまなfについてこの問題の難しさについていくつかの結果はありますか？ たとえば、と仮定します。問題の最小値は、計算が容易なxの平均です。一方、と仮定すると、閉形式の解はないため、argminの計算が難しいように見えますか、それともそうですか？ f （m 、x ）= log （1 + exp （− m x ））f（m 、x ）= （m − x ）2f(m,x)=(m−x)2f(m,x)=(m-x)^2f（m 、x ）= ログ（1 + exp（− m x ））f(m,x)=log⁡(1+exp⁡(−mx))f(m,x)=\log (1+\exp(-m x)) 動機：この最小化の問題は、モデルをデータに適合させるときに発生します。fの最初の例は最小二乗近似で、2番目の例はロジスティック回帰です。 編集：私は関連する質問を見ただけであり、それは私が求めていたものの精神であり、特定のfを選択するためのものです

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