タグ付けされた質問 「algebraic-complexity」

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Cai-Furer-Immermanガジェットの自己同型
Weisfeiler-Lehman（WL）法によるグラフ同型の有名な反例では、この論文でCai、Furer、Immerman が次のガジェットを作成しました。彼らは、グラフ構築によって与えられるがX k = （V k、E k）Xk=(Vk,Ek)X_k = (V_k, E_k) VのK = K ∪ BのK ∪ M K どこ K = { I | 1 ≤ I ≤ K } 、BのK = { B I | 1 ≤ I ≤ K } 、 及び Mk={mS∣S⊆{1,2,…,k}, |S| is even}Ek={(mS,ai)∣i∈S}∪{(mS,bi)∣i∉S}Vk=Ak∪Bk∪Mk where Ak={ai∣1≤i≤k},Bk={bi∣1≤i≤k}, …
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超対数回路の複雑さの下限を持つ1変数の明示的多項式？
引数を数えることにより、1変数に次数nの多項式（つまり、が存在し、回路の複雑度がnであることを示すことができます。また、x nのような多項式には少なくともlog 2 nの乗算が必要であることを示すことができます（十分に高い次数を得るために必要です）。複雑さの超対数下限を持つ1変数の多項式の明示的な例はありますか？（任意のフィールドでの結果は興味深いでしょう）anxn+an−1xn−1+⋯+a0)anxn+an−1xn−1+⋯+a0)a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)xnxnx^nlog2nlog2⁡n\log_2 n
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単項式の直線の複雑さ
してみましょうkkk、いくつかのフィールドです。いつものように、のためにf∈k[x1,x2,…,xn]f∈k[x1,x2,…,xn]f\in k[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}] 我々は定義L(f)L(f)L(f)の直線複雑であることがfff上 kkk。LET FFFの単項式の集合fffに現れるすなわち単項式fffの非ゼロ係数を有します。 それは本当のことです∀m∈F:L(m)≤L(f)∀m∈F:L(m)≤L(f) \forall m\in F:L(m)\le L(f)？ より弱い上限でさえL(m)L(m)L(m)知られていますか？
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行列式と行列乗算-アルゴリズムの複雑さと算術回路サイズの類似点と相違点
行列式と行列式のアルゴリズムの複雑さと回路の複雑さとの関係を理解し​​ようとしています。 の行列ことが知られているマトリックスがすることができる計算に時間、任意の二つの乗算に必要な最小時間で行列。行列式の最適な回路の複雑さは、深さで多項式であり、深さ3で指数関数的であることも知られてい。n × nn×nn\times nM（n個）のn×n個O〜（M（n ））O~(M(n))\tilde{O}(M(n))M（n ）M(n)M(n)n × nn×nn\times nO （ログ2（n ））O(log2⁡(n))O(\log^{2}(n)) アルゴリズムの観点から行列式の計算は行列の乗算に似ていることがわかっているのに、行列式と行列の乗算の回路の複雑さに違いがあるのはなぜですか？具体的には、なぜ回路の複雑さが深さで指数関数的なギャップを持っているのでしょうか？333 おそらく、説明は簡単ですが、私にはわかりません。「厳密」の説明はありますか？ また見てください：行列式の最小の既知の式
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一般化されたヴァンデルモンド行列の行列式
ムーア行列はヴァンダーモンド行列に似ていますが、定義が少し変更されています。 http://en.wikipedia.org/wiki/Moore_matrix ある整数を法とする与えられたn×nn×nn \times nフルランクムーア行列の行列式を計算する複雑さは何ですか 缶ムーアから減少させることが決定基O(n3)O(n3)O(n^{3})にFFT技術を用いてO(nlogan)O(nloga⁡n)O(n\log^{a}n)一部のa∈R+∪{0}a∈R+∪{0}a \in \mathbb{R}_{+} \cup \{0\}？ Moore det moduloの複雑性は整数であり、Vandermonde detも同じですか？Vandermonde行列式の複雑さはO(nlog2n)O(nlog2⁡n)O(n\log^{2}n)（理論計算機科学ハンドブックのページ644：Jan Leeuwenによるアルゴリズムと複雑さ） 現在の投稿と同様の投稿：mを法とする行列式
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線形充足可能性問題の下限
でSODA 1995、ジェフ・エリクソン（一部かどうかをチェック線形充足するための下限を示したの-subset nは実数を満たす上で線形方程式のR変数）。証明方法は、無限小とタルスキーの転送原理を使用します。rrrんnnrrr この束縛を証明するために取られたルートの背後にある直観を誰かが説明できますか？次のような直接的な証明を思い付く際の難しさは何ですか。
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TCSにおけるリーマン仮説バリアントの影響
〜1½世紀以上前のリーマン仮説は数学に深い影響を与えており、数学理論の大規模な建造物は現在、条件付きでそれと多数の変形に証明されています。私は最近、リーマン仮説に基づくTCSの条件付き結果への参照に出くわしました。したがって、私は不思議に思っています、 TCSにおけるリーマン仮説の主な意味は何ですか？ ここから始めて、最近の論文の例として、Dorand、Mahajan、Malod、de Rugy-Altherre、SaurabによるVPの完全準同型多項式が完成しました。論文の紹介から： 代数的複雑性理論における最も重要な未解決の問題の1つは、クラスVPとVNPが異なるかどうかを決定することです。これらのクラスは、最初に[13、12]でValiantによって定義され、ブール複雑度クラスPおよびNPの代数的類似物であり、それらを分離することは、PをNPから分離するために不可欠です（少なくとも不均一であり、一般化されたリーマン仮説を想定し、フィールド、[3]）。CC\mathbb{C}
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多項式因子が線形因子になっているかどうかのチェック
ましょう演算回路によって与えられる多項式であるCサイズのS。入力としてCが与えられた場合、Q [ x 1、x 2、… 、x n ]のfのすべての既約係数が線形形式であるかどうかをチェックする決定論的アルゴリズムはありますか？関連するノートでは、線形形式l = ∑ n i =f∈Q[x1,x2,…,xn]f∈Q[x1,x2,…,xn]f\in\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]CCCsssCCCfffQ[x1,x2,…,xn]Q[x1,x2,…,xn]\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]、我々かどうか確定確認することができ、Lはの要因である、F。もちろん、どちらの場合も実行時間を多項式にする必要があります。サイズとは、総ビットサイズを意味します。また、fの次数はnの多項式であると想定できます。l=∑ni=1li⋅xil=∑i=1nli⋅xil=\sum_{i=1}^{n}l_{i}\cdot x_{i}lllffffffnnn
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キャンセルと決定要因
Berkowitzアルゴリズムは、行列のべき乗を使用して正方行列の行列式の対数深度を持つ多項式サイズ回路を提供します。アルゴリズムは暗黙的にキャンセルを使用します。行列式を計算するために対数または線形の深さをもつ多項式サイズの回路を達成するためにキャンセルは不可欠ですか？キャンセルなしの回路を使用したこれらの問題には、完全に指数関数的な（超多項式やサブ指数関数だけでなく）下限がありますか？
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小さな未知の多項式で割ったときに、大きな固定多項式の残りを見つける
有限体で動作すると仮定します。この場で大きな多項式p（x）（たとえば、次数1000）が与えられます。この多項式は事前にわかっており、「初期フェーズ」で多くのリソースを使用して計算を行うことができます。これらの結果は、適度に小さいルックアップテーブルに格納される場合があります。 「初期段階」の終わりに、小さな多項式q（x）（たとえば、次数5以下）が与えられます。 「初期フェーズ」でいくつかの複雑な計算を行うことが許可されている場合、p（x）mod q（x）を計算する高速な方法はありますか？1つの明白な方法は、q（x）のすべての可能な値に対してp（x）mod q（x）を計算することです。これを行うより良い方法はありますか？
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（暗号）多項式数の算術ステップで解決可能な問題
1979年のAdi Shamir [1]の論文では、因数分解は多項式の数の演算ステップで実行できることを示しています。この事実は、直線プログラム（SLP）のコンテキストでのBorwein and Hobart [2]の最近の論文で再説明されたため、私の注目になりました。 これを読んで驚いたので、次の質問があります。SLPで多項式の数のステップで解決でき、現在解決できないことがわかっている、他の暗号の問題または他の関連する問題はありますか？ 「通常の」古典的なコンピュータで効率的に？ [1] Adi Shamir、Oの因数分解（log n ）算術ステップO （ログn ）O（ログ⁡ん）O(\log n)。情報処理レター8（1979）S. 28–31 [2]ピーター・ボーウェイン、ジョー・ホバート、「直線プログラムにおける除算の並外れた力」、アメリカ数学月報Vol。1。119、No. 7（2012年8月〜9月）、584-592ページ
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行列式からのおよび行列の永続性
LETであるまたはエントリを有する行列。誰かが私になるような行列提供できますか？\ operatorname {per}（A）= \ det（B）であることがわかっている最小の明示的なBは何ですか？明示的な例でこれに関する参照はありますか？AAA3×33×33 \times 34×44×44 \times 4aijaija_{ij}BBBper(A)=det(B)per⁡(A)=det(B)\operatorname{per}(A) = \det(B)BBBper(A)=det(B)per⁡(A)=det(B)\operatorname{per}(A) = \det(B) いくつかの制限は、次の場合です。 ケース（1）Bの(1)(1)(1)エントリとして許可されるのは線形汎関数のみです。BBB ケース(2)(2)(2)各項が最大でO(log(n))O(log(n))O(log(n))次数（次数は変数の次数の合計）であるnnn、非線形汎関数が許可されます。ここで、nは関連する行列のサイズです。私たちの場合、最大222です。
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行列乗算の真のビット複雑度は
通常の（行-列の内積）手法を使用した行列の乗算には、乗算と加算が必要です。ただし、サイズがビットの同じサイズのエントリ（乗算される両方の行列の各エントリのビット数）を想定すると、加算演算は実際にはビットで発生します。O （n 3）m O （n 3 n m ）= O （n 4 m ）O （n３）O(n3)O(n^{3})O （n３）O(n3)O(n^{3})メートルmmO （n３n m ）= O （n4m ）O(n3nm)=O(n4m)O(n^{3}nm) = O(n^{4}m) したがって、ビットの複雑さを介して測定された場合の行列乗算の真の複雑さはなるはずです。O （n4）O(n4)O(n^{4}) （1 ）(1)(1)これは正しいですか？ 乗算と加算の合計ではなく、ビットの複雑さを削減するアルゴリズムを作成した場合、これは、CoppersmithやCohnなどの研究者が試みたもの。O （n 2 + ϵ）O （n3 + ϵ）O(n3+ϵ)O(n^{3+\epsilon})O （n2 + ϵ）O(n2+ϵ)O(n^{2+\epsilon}) （2 ）(2)(2)これは有効な引数ですか？
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テンソルランクはVNPにありますか？
3次元テンソルのテンソルランクがVNP（非決定論的バリアントクラス）にあるかどうかはわかりますか？はいの場合、高次元テンソルランクについて何がわかっていますか？ 実際、私はもっと単純な問題に興味があります。私は1つのクラスの非ゼロ多項式を構築することができるかどうかを知りたいに、VNPのどの嘘そのような変数のテンソル階数なら未満N ^ {1.9} 。簡単にするために、\ mathbb {C}で作業していると仮定します。fnfnf_nf i（T ）= 0 T n 1.9 Cn3n3n^3fi(T)=0fi(T)=0f_i(T)=0TTTn1.9n1.9n^{1.9}CC\mathbb{C} 高ランクのTに対してfi(T)=0fi(T)=0f_i(T)=0であれば、すべての小さなランクテンソルに対して必要なのはf_i（T）= 0だけでよいことです。TTTfi(T)=0fi(T)=0f_i(T)=0
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条件付きの結果は、パーマネントの上限/下限を改善することが難しいことを意味します
してみましょう与えられた正方行列とすること。となる ように 2次の下限を打つことが難しいという証拠はありますか？AAABBBdet(B)=per(A)det(B)=per(A)\text{det}(B) = \text{per}(A) 下限を証明することが難しいことを示唆するもっともらしい推測はありますか？行（または列）の下限をいくつかのに対して証明するのが難しいという証拠はありますか（たとえば、と同等）？Ω(n2+ϵ)Ω(n2+ϵ)\Omega(n^{2+\epsilon})ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0VP≠VNPVP≠VNP\mathsf{VP} \ne \mathsf{VNP} 上限を証明することが難しいことを示唆するもっともらしい推測はありますか？いくつかの上限を証明するのが難しいという証拠はありますか？O(2nϵ)O(2nϵ)O(2^{n^\epsilon})ϵ∈(0,1)ϵ∈(0,1)\epsilon \in (0,1)
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