TCSにおけるリーマン仮説バリアントの影響

〜1½世紀以上前のリーマン仮説は数学に深い影響を与えており、数学理論の大規模な建造物は現在、条件付きでそれと多数の変形に証明されています。私は最近、リーマン仮説に基づくTCSの条件付き結果への参照に出くわしました。したがって、私は不思議に思っています、

TCSにおけるリーマン仮説の主な意味は何ですか？

ここから始めて、最近の論文の例として、Dorand、Mahajan、Malod、de Rugy-Altherre、SaurabによるVPの完全準同型多項式が完成しました。論文の紹介から：

代数的複雑性理論における最も重要な未解決の問題の1つは、クラスVPとVNPが異なるかどうかを決定することです。これらのクラスは、最初に[13、12]でValiantによって定義され、ブール複雑度クラスPおよびNPの代数的類似物であり、それらを分離することは、PをNPから分離するために不可欠です（少なくとも不均一であり、一般化されたリーマン仮説を想定し、フィールド、[3]）。$\mathbb{C}$

第一に、リーマンの仮説をそのようにCSに適用したことは知りません。RH の一般化にはさまざまな用途があります。

第2に、用語の注記：一般的な考えに反して、「一般化されたリーマン仮説」や「拡張リーマン仮説」などはありません。これらの用語はどちらも、RHの何らかの種類の関数へのRHの一般化の大まかな表記として、文献ではほぼ同じ意味で使用されています。それらには固定された特定の意味はありません、または少なくとも、異なる著者の論文（または同じ著者の異なる論文でさえ）全体で一貫していません。$L$

OPで言及されている結果は、実存理論（一般的には「ヒルベルトのヌルステレンサッツ」という紛らわしい名前の下にある）がAMにあり、したがって多項式階層にあるというKoiranの結果に基づいています。Dedekind -functionsのRHを想定しています。具体的には、Chebotarev密度定理の効果的なバージョンに依存しています。$\mathbb C$$\zeta$

CSアプリケーションの別のクラスは、法とするすべての非自明な2次ディリクレ文字が、元々アンケニーが原因で、いくつかのを想定するという事実を悪用します。表記の定数を改善したバッハに。二次ディリクレ文字の関数はRHに依存します。これはDedekind関数の場合よりも弱いです。（結果は、実際には有限次数のヘッケ文字に対してより一般的に成り立ち、完全な一般性としては、そのヘッケ文字の関数のRHを必要とします。これは、実際にはDedekind RHと同等です。$m$$\chi(x)=-1$$x=O((\log m)^2)$$O$$L$$\zeta$$L$$\zeta$-関数。ただし、私が知っているCSアプリケーションではこれは必要ありません。）結果として、Miller–Rabin素数テストアルゴリズムや平方根モジュロ素数を計算するためのShanks–Tonelliアルゴリズムなど、いくつかのアルゴリズムをランダム化できます。

私の知る限り、RHは、上記のコメントで言及されているように、特定の間隔で素数を決定論的に見つけるのに役立ちません。これは、Cramérの推測または同様の素数ギャップの限界に続くものですが、RHは弱すぎて、そのような限界を証明できません（素数定理の誤差項は、少なくともおよそオーダーに関係なく）。$\sqrt x$

拡張されたリーマン仮説を想定して、LMアドルマンとHWレンズトラは、有限体上の所望の次数の既約多項式を見つけるための多項式時間アルゴリズムを提供しました：http : //www.math.leidenuniv.nl/~hwl/PUBLICATIONS/1986a/art .pdf