行列式からのおよび行列の永続性

LETであるまたはエントリを有する行列。誰かが私になるような行列提供できますか？\ operatorname {per}（A）= \ det（B）であることがわかっている最小の明示的なBは何ですか？明示的な例でこれに関する参照はありますか？$A$$3 \times 3$$4 \times 4$$a_{ij}$$B$$\operatorname{per}(A) = \det(B)$$B$$\operatorname{per}(A) = \det(B)$

いくつかの制限は、次の場合です。

ケース（1）Bの$(1)$エントリとして許可されるのは線形汎関数のみです。$B$

ケース$(2)$各項が最大で$O(log(n))$次数（次数は変数の次数の合計）である$n$、非線形汎関数が許可されます。ここで、nは関連する行列のサイズです。私たちの場合、最大$2$です。

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1. 一貫性を保つために、表記をからに切り替えました。$c(n)$$dc(n)$
2. 私の回答がより高い次元に一般化するかどうかはコメントでvsによって尋ねられました。これは、任意のフィールドに上限を設定します： これに関する私のドラフトを参照してください：永続的な問題と決定的な問題の上限。 $$dc(n)\le 2^n-1.$$

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[サイドコメント：新しい質問を作成する代わりに、以前の質問を編集することもできます。]

私はあなたのために次の答えを持っています：

$$\operatorname{per}\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}= \det\begin{pmatrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

明示的な例に関するそのような参照を探しても、何も見つからなかったため、私が提供した例は、私が作成した例です。

あなたが尋ねているこの質問は、一般的に「永続的な問題と決定的な問題」と呼ばれています。行列が与えられ、ような最小の行列が必要だとします。このような最小の次元を示します。過去の結果は次のとおりです。$(n\times n)$$A$$B$$\operatorname{per} A=\det B$$dc(n)$$B$

• [Szegö1913]$dc(n)\ge n+1$
• [von zur Gathen 1986]$dc(n)\ge n\sqrt 2-6\sqrt n$
• [Cai 1990]$dc(n)\ge n\sqrt 2$
• [Mignon＆Ressayre 2004] 特性 2/2$dc(n)\ge n^2/2$$0$
• [Cai、Chen＆Li 2008] 特性。$dc(n)\ge n^2/2$$\neq 2$

これは、あることを示しています（上限は上記の行列です）。$5\le dc(3)\le 7$

私は怠惰なので、他の参照を見つけることができる参照を1つだけ示します。これは、Cai、Chen、Liが引用した最新の論文です。任意の特徴的なに関する永続的かつ決定的な問題の2次下限$\neq 2$。

フランス語を読んでいるなら、この主題に関する私のスライドを見ることができます：永久対決定因子。