条件付きの結果は、パーマネントの上限/下限を改善することが難しいことを意味します

してみましょう与えられた正方行列とすること。となる ように 2次の下限を打つことが難しいという証拠はありますか？$A$$B$$\text{det}(B) = \text{per}(A)$

下限を証明することが難しいことを示唆するもっともらしい推測はありますか？行（または列）の下限をいくつかのに対して証明するのが難しいという証拠はありますか（たとえば、と同等）？$\Omega(n^{2+\epsilon})$$\epsilon > 0$$\mathsf{VP} \ne \mathsf{VNP}$

上限を証明することが難しいことを示唆するもっともらしい推測はありますか？いくつかの上限を証明するのが難しいという証拠はありますか？$O(2^{n^\epsilon})$$\epsilon \in (0,1)$

指数時間仮説（ETH）がfalseでない限り、の上限は不可能かもしれません。$O(2^{n^{\epsilon}})$ $\epsilon<1$

Holger Dell、Thore Husfeldt、MartinWahlén。

パーマネントとトゥッテ多項式の指数時間の複雑さ。

ECCC TR10-78のフルペーパー。http://eccc.hpi-web.de/report/2010/078/

つまり、パーマネントのサイズ行列式への埋め込みが十分に速い場合、あなたは出来る$n\times n$$O(2^{n^{\epsilon}})\times O(2^{n^{\epsilon}})$

1. 上記のペーパーのように、3SATインスタンスをパーマネントに変換します

2. パーマネントを大きな行列の行列式に変換します

3. 行列式を計算して、元の3SATインスタンスの解の数を見つけます。

変量3SATインスタンスの実行時間は、ステップ（2）が十分に高速である場合（たとえば、nの多項式）、応じて、いくつかのになります。大きい行列の各エントリ）。これはETHと矛盾します。$n$$O(2^{n^{\epsilon'}})$$\epsilon'<1$$\epsilon$