単項式の直線の複雑さ

してみましょう $k$ 、いくつかのフィールドです。いつものように、のために $f\in k[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ 我々は定義 $L(f)$ の直線複雑であることが $f$ 上 $k$ 。LET $F$ の単項式の集合 $f$ に現れるすなわち単項式 $f$ の非ゼロ係数を有します。

それは本当のことです $\forall m\in F:L(m)\le L(f)$ ？

より弱い上限でさえ $L(m)$ 知られていますか？

cc.complexity-theory algebraic-complexity arithmetic-circuits

— ゴラヴ・ジンダル
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回答:

場合、それが持っている単項式及び。カウント引数により、長さ直線プログラムがあります。、我々は長いプログラムを必要とするいくつかのために、より多くの単項式を持っています。実際、この引数は、ある単項式を与えます。

f = (Σ_{i = 1}^{n} x_{i})^{2^{n}}

$f=(\Sigma_{i=1}^n x_i)^{2^n}$

(\binom{2^{n} + n - 1}{n - 1}) \approx 2^{n^{2}}

${2^n+n-1\choose n-1} \approx 2^{n^2}$

L (f) = O (n)

$L(f)=O(n)$

2^{O (n \log n)}

$2^{O(n\log n)}$

O (n)

$O(n)$

f

$f$

m

$m$

L (m) = \tilde{Ω} (L^{2} (f))

$L(m)=\widetilde\Omega(L^2(f))$

— domotorp
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domotorpの答えに基づいた小さな建設的な例として、をとり、をとることができます。

f = (x + y)^{8}

$f=(x+y)^8$

L (f) = 4

$L(f)=4$

L (x^{7} y) = L (x^{7}) + 1 = 5

$L(x^7y)=L(x^7)+1=5$

— ブルーノ14年

@domotorp、いい答えをありがとう。これも上限のようですか？または、より良い下限がありますか？

— ゴラヴジンダル14

わかりませんが、この例は非常に単純だったので、ギャップはより大きくなる可能性があり、場合によっては指数関数にさえなる可能性があります。

— domotorp

線形の上限があるという「証明」があります...私はどこが間違っていますか（二次の下限を証明したので）？次のとおりです。サイズ SLP を使用して、合計次数多項式を計算します。現在、のサイズは最大 SLPであり、進数のべき乗があります。学位変量単項式は、次に最大でサイズのSLP有する計算全：（非常に粗いバウンド）、、次いでその生成物を。したがって、多項式を考慮する場合、その合計次数は最大であり、各単項式のサイズは最大

L

$L$

\leq 2^{L}

$\le 2^L$

x^{D}

$x^D$

2 \log D

$2\log D$

D

$D$

n

$n$

2 n \log D + n - 1

$2n\log D+n-1$

x_{i}^{D_{i}}

$x_i^{D_i}$

D_{i} \leq D

$D_i\le D$

f

$f$

2^{L (f)}

$2^{L(f)}$

2 n L (f) + n - 1

$2nL(f)+n-1$ 。

— ブルーノ14年

@Bruno：良い証拠であり、何も問題はありませんが、とを掛け合わせても線形ではありません。ただし、は最大で変数に依存できることがわかっているため、仮定できます。これは、必要な2次境界を意味します。したがって、。

n

$n$

L (f)

$L(f)$

f

$f$

L (f) + 1

$L(f)+1$

n \leq L (f) + 1

$n\le L(f)+1$

L (m) = O (L^{2} (f))

$L(m)=O(L^2(f))$

— domotorp 14年

注： OPは明示的に弱い上限を要求しているため、これは以前のコメントを拡張したものです。

多項式の合計次数は制限されますこれは、各演算が多項式の次数を最大で2倍にすることができるためです。したがって、各、。 $f$ $2^{L(f)}$ $m\in M$ $\deg(m)\le 2^{L(f)}$

現在、いくつかの変数および次数、サイズが最大場合、2進べき乗法により計算するSLPがあり。単項式場合、各を個別に計算し、その積を取ることができます。したがって、ここで、はの合計次数（もちろん、各上限）です。 $x$ $d$ $x^d$ $2\log(d)$ $m=x_1^{d_1}\dotsb x_n^{d_n}$ $x_i^{d_i}$ $L(m)\le 2n\log(d) + (n-1)$ $d$ $m$ $d_i$

一緒に、取得します： $m\in M$

L (m) \leq 2 n \log (\deg (m)) + (n - 1) \leq 2 n L (f) + (n - 1) .

$L(m)\le 2n\log(\deg(m))+(n-1)\le 2nL(f)+(n-1).$

以来、、一方が結論できる $n\le L(f)+1$

\forall m \in M, L (m) \leq 2 L (f)^{2} + 3 L (f) .

$\forall m\in M, L(m) \le 2L(f)^2+3L(f).$

備考。述べられているように限界は非常に荒いです。特に、与えられたの上限は2番目の段落がきつくないことです。それでも、domotorpの答えは、はるかに優れた限界を期待することはできず、より正確には、への2次依存性を除去できないことを示しています。構造を強化するために、追加チェーンで最もよく知られている構造を使用できます。この問題の正確な境界はまだわかっていないことに注意してください。 $L(m)$ $L(f)$

— ブルーノ
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